莱布尼茨曾说:“音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受。”毕达哥拉斯发现七弦琴音高取决弦之长度，当弦长成整数比时，就发出和谐的声音。从此，音乐研究与数学连成一体。

历史上，有许多数学家和音乐家，试图搞清数学与音乐的联系，通过音阶体系、和声学理论以及旋律配合法，建立完备的体系。研究期间最高的成就，与数学家傅里叶密不可分。他得出结论:所有声音都可用数学的方式进行全面的描述。便于理解，考虑音叉发出的简单声音，每一次音叉向右移动就有一次向左的缩聚和向右的稀疏，当这些到达耳膜时，引起的振动产生声音的感觉。空气分子不是从音叉运动到耳朵，而在附近有限区域运动的分子，引起前后分子的振动时，传播连续的缩聚和稀疏，因此构成声波。在分子运动时间内，原有位置分子的位移，随着时间而连续变化。理想的空气分子运动，可以通过声波显示仪清晰显示出来。其运动轨迹的性质，可以用正弦函数来表达。对于函数y=asinbx（a与b是任意正数），它的振幅是a,在x值的360个单位里，频率是b,因此只需确定适合音叉形式的a与b。

所有音乐的图像，会表现出某种规则，即每一个位移相对于时间的图像在一秒内都准确地重复若干次。所有具有在图像上规则性或周期性的声音，技术上称为音乐声音。傅里叶对音乐的贡献，可以表现为纯粹的数学定理，即代表任何周期性声音的公式，是形如asinbx的简单正弦函数表达式之和，并且，正弦各项的频率，是其中最低一项频率的整数倍。这表明，无论何等复杂的音乐声音，实际是音叉发出的简单声音的组合。因此理论上讲，《欢乐颂》的演奏可以用音叉来完成。

单音（泛音或和声），是频率最低泛音或基本音，第二泛音的频率是最低频率泛音的两倍，等等。将复合音分解为泛音与和声，可以用数学方法描述音乐声音的主要特征。每个声音的特征包括音调、音量、音质。在数学上，音量与振幅正相关，音量取决于振动的空气分子的位移。音调由基本音的频率确定，因此复合音音调由基本音而定。音质影响着图形的形状，即不同乐器发出具有相同周期及振幅的声音图像，其形状是不同的。例如，在长笛的高音中，除了第一泛音强，所有泛音都弱，合成音很简单，就像具有类似音高的高音演员的声音，因此，高音演唱伴奏在咏叹歌剧中被使用，产生出美好的艺术效果。由此，这些抽象的数学公式是在周围真实地存在着。

最动听的和声或音符的组合，是由频率为简单整数比的声音组成的。为了演奏出愉悦的和声，音阶必须提供合适的频率比，此外，还要引入复调音乐或旋律配合法，达到能够描绘各种不同的感情效果。

由于乐器不可能具有无限多个或一系列的频率，比如，钢琴上每个音的频率是固定的，只有利用平均调音音阶结构才能解决这个问题，这种音乐是巴赫和他儿子提出的，这套音阶体系在西方文明中一直适用。平均调音音阶包括12个音符，比如从C到C'，这个高八度音，有12个音程，11个中间音符的频率固定不变，所以，每个音符与前面一个的频率之比是相同的。C到C'，这两个音符的频率比是2，由（1.0594）的12次方是2，得出相连音符的频率比是1.0594,在平均调音音阶中，每个音程都相同，由此，任何音符都可以作为乐谱上的调。虽然这种音阶中的音符所形成的音程不是十分精确，却是最悦耳的。

在音乐中，数学可以推广到作曲本身，因此，音乐作品创作的方式，与其说不可言传的、精神上的感受，不如说是理性的推理。傅里叶定理指明，所有声乐作品的声音，都是具有不同频率的简单声音的组合，而实际生活中，人能够听见的仅是简单的、频率为每秒400到3000的声音，因此电话根据这个频率范围设计成功。

数学也改进了音乐乐器的质量，用声波显示仪将乐器的声音转化为图形，与其对应的理想图形做对比，来判断产品的质量。而在乐器的设计中，靠的是经验，并不是数学。然而在显现声音的仪器中，起作用的是数学，而不是经验。实际上，傅里叶的声乐分析在复杂仪器的每部分设计中，发挥重要的作用。

美妙音乐的本质，主要由数学分析提供的。傅里叶定理将音乐用数学来描述，因此，最抽象的数学领域能转化为最抽象的科学，而最富有理性的学问，也有合乎理性的音乐与其密切相关。