本章涉及知识点：
1、前言
2、案例问题的提出
3、决策变量的定义
4、基本情景的假设
5、约束条件的翻译
6、目标函数的建立
7、数学模型的归纳
8、python编程求解模型
9、案例结果分析
10、心得体会
一、前言
继写完线性规划的数学算法和实战的两篇文章后—《线性规划的算法分析》和《线性规划实战—投资的收益和风险》，我们可以看到，一个经济、管理的问题凡是满足以下条件，就可以建立线性规划的模型
（1）现实问题的目标(价值)函数可以用一次多项式来表达，即为线性函数
（2）目标函数的可行解(方案)在其凸集上存在多种组合解
（3）目标的量化均满足约束条件，且这些约束条件可以用线性等式或不等式来描述
下面我们继续分析一个连续投资的场景
二、案例问题的提出
考虑下列投资项目：
项目A：在第1~4年每年年初可以投资，并于次年年末收回本利115%；
项目B：第3年年初可以投资，一直到第5年年末能收回本利125%，且规定最大投资额不超过4万元；
项目C：第2年年初可以投资，一直到第5年年末能收回本利140%，且规定最大投资额不超过3万元；
项目D：5年内每一年年初均可以购买公债，并于当年年末归还本金，并加获得利息6%。
如果你有10万元本金，求确定一个有效的投资方案，使得第5年年末你拥有的资金的本利总额最大？
三、决策变量的定义
分析场景里存在时间轴，即存在两种类型的变量
（1）每年(时间点)均有至少一种投资项目选择，则选择的数量为第一类变量
（2）每个投资项目投资的资金数目为第二类变量
由于线性规划适合处理静态问题，为此我们将时间轴维度拉平，定义决策变量为
其分别表示第i年给项目A、B、C、D的投资数额，总共有4*5=20个互相独立的决策变量，则根据场景的投资规则，我们可以列出翻译出下列二维表
上述表可以按行方向翻译为：该项目在5年内的投资情况；按列方向翻译为：该年内选择投资的项目组合和额度
四、基本情景的假设
（1）由于每个项目均是年初方可投资，则假设每年的投资和收益都是连续的
（2）每次投资，都应该把可能收益的本利全部投出去，即手中不应当有剩余的呆滞资金
（3）每种投资项目之间是互相独立的
（4）每种投资项目的收益为定值，不受其他因素的干扰
（5）投资的额度可以是任意自然数，不一定是整万元
五、约束条件的翻译
基于决策变量的意义和模型场景的假设，我们来翻译题目场景的约束条件集合
第1年年初：
还未开始投资，本金为100000元，只有项目A和项目D可以选择，则第1年的资金分配为
第2年年初：
由于项目A第1年的收益要到第2年年末才能收回，而项目D第1年的收益在第1年年末就可以收回，则第2年年初拥有的投资金额 = 项目D第1年的投资在第1年年末的本息，则第2年的资金分配为
第3年年初：
由于项目C第2年的收益要到第5年年末才能收回，即第2年年初拥有的投资金额 = 项目A第1年的投资在第2年年末的本息+项目D第2年的投资在第2年年末的本息，则第3年的资金分配为
第4年年初：
由于项目B第3年的收益要到第5年年末才能收回，即第3年年初拥有的投资金额 = 项目A第2年的投资在第3年年末的本息+项目D第3年的投资在第3年年末的本息，则第4年的资金分配为
第5年年初：
第5年年初拥有的投资金额 = 项目A第3年的投资在第4年年末的本息+项目D第4年的投资在第4年年末的本息，则第4年的资金分配为
上述条件均满足我们基本情景的假设的第2条—每次投资，都应该把可能收益的本利全部投出去，即手中不应当有剩余的呆滞资金，即5个线性等式约束
此外，由于题目场景里对项目B、C的投资金额有限制，我们用不等式线性约束来表示，即
至此我们就将场景的约束条件集翻译为：5个等式约束和2个不等式线性约束
六、目标函数的建立
我们的目标是求在第5年年末可以拥有最大的本利，则与第5年年末资金收益有关的决策变量为：
则目标函数可以线性表示为
七、数学模型的归纳
经过上述的分析，我们将动态的时间轴投资问题，通过建立20个互相独立的决策变量，拉伸为静态的投资问题，然后通过约束条件的线性等式和不等式，以及目标函数，则归纳整合的数学模型为
八、python编程求解模型
我们根据上述建立的数学模型，化为标准型
用我们之前实现的单纯形算法来求解，具体算法之前文章已经详细说明，我们这里直接写业务代码即可
九、案例结果分析
程序运行计算结果为：
即求出的最优投资方案为：
第1年年初投资组合：项目A：7.1698万元，项目B：0.0万元，项目C：0.0万元，项目D：2.8302万元，该年总投入：10.0万元
第2年年初投资组合：项目A：0.0万元，项目B：0.0万元，项目C：3.0万元，项目D：0.0万元，该年总投入：3.0万元
第3年年初投资组合：项目A：4.2453万元，项目B：4.0万元，项目C：0.0万元，项目D：0.0万元，该年总投入：8.2453万元
第4年年初投资组合：项目A：0.0万元，项目B：0.0万元，项目C：0.0万元，项目D：0.0万元，该年总投入：0.0万元
第5年年初投资组合：项目A：0.0万元，项目B：0.0万元，项目C：0.0万元，项目D：4.8821万元，该年总投入：4.8821万元
第5年年末总收入本金+利息为：14.375万元，总赢利：43.75%
10、心得体会
这一章我们仍然通过一个实际金融场景问题，来体验金融+数学+编程的整个思维建设推导过程
从这个案例里可以总结出：
（1）处理带时间轴的动态问题，需要将其拉伸独立转化为静态问题
（2）目标函数和约束条件都围绕着决策变量来设计
（3）等式约束条件需要填充不等式约束条件的松弛变量（单纯形算法的注意点）
案例代码见：线性规划实战—连续投资问题
