首先，我们从最简单的开始：
Write a program to check whether a given number is an Ugly Number.
Ugly Numbers are positive numbers whose prime factors only include 2, 3, 5.
For example, 6, 8 are ugly while 14 is not ugly since it includes another prime factor 7.
Note that 1 is typically treated as an ugly number.
Ugly Number是指 一个正数的素因子只包含2，3，5. 比如 6和8就是Ugly Number，而14不是, 14 ＝ 2 ＊ 7 多了另外一个素因子7. 所以判断一个数字是不是Ugly Number就很简单了，就是这几个因子来回除。能整除就是Ugly Number，反之就不是。代码如下：
public boolean isUgly(int num) {
if(num <= 0) return false;
if(num == 1) return true;
while (num > 1) {
if (num % 2 == 0) {
num = num / 2;
} else if(num % 3 == 0) {
num = num / 3;
} else if (num % 5 == 0) {
num = num / 5;
} else
return false;
}
return true;
}
那么继续考虑一个进阶问题：
Write a program to find the n-th Ugly Number.
Ugly Number are positive numbers whose prime factors only include 2,3, 5. For example, **1,2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 **is the sequence of the first 10 ugly numbers.
Note that 1 is typically treated as an ugly number.
我们升级一下来找一下第n个Ugly Number。对于任何一个Ugly Number k 那么 2 * k， 3 * k， 5 * k 都是Ugly Number。因此找第n个Ugly Number 就是，通过把一个Ugly Number跟素因子｛2，3，5｝乘积，不断的按照数字大小增加到列表后面，直到找到第n个Ugly Number为止。
public int nthUglyNumber(int n) {
if(n == 1) return 1;
int[] uglyNumbers = new int[n];
uglyNumbers[0] = 1;
int idx2 = 0;
int idx3 = 0;
int idx5 = 0;
int counter = 1;
while(counter < n) {
int min = Math.min(
Math.min(uglyNumbers[idx2]*2, uglyNumbers[idx3] * 3),
uglyNumbers[idx5] * 5);
if(min == uglyNumbers[idx2] * 2) {
idx2++;
}
if(min == uglyNumbers[idx3] * 3) {
idx3++;
}
if(min == uglyNumbers[idx5] * 5) {
idx5++;
}
uglyNumbers[counter] = min;
counter++;
}
return uglyNumbers[n -1];
}
把这个更进一步扩展的更通用一点：
Write a program to find the nth Super Ugly Number.
Super Ugly Numbers are positive numbers whose all prime factors are in the given prime list primes of size k. For example, [1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 16, 19, 26, 28, 32] is the sequence of the first 12 Super Ugly Numbers given primes = [2, 7, 13, 19] of size 4.
Note:
(1) 1 is a super ugly number for any given primes.
(2) The given numbers in primes are in ascending order.
(3) 0 < k ≤ 100, 0< n ≤ 106, 0 < primes[i] < 1000.
原理同上不解释，直接上代码：
public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
if( n == 1 ) return 1;
ArrayList<Integer> uglyNumbers = new ArrayList<>();
uglyNumbers.add(1);
int[] index = new int[primes.length];
for(int i = 0; i < index.length; i++) {
index[i] = 0;
}
int counter = 1;
while(counter < n) {
int min = Integer.MAX_VALUE;
int minIndex = 0;
for (int i = 0; i < primes.length; i++) {
int currentVal = uglyNumbers.get(index[i]) * primes[i];
if(currentVal < min) {
min = currentVal;
minIndex = i;
}
}
index[minIndex]++;
if (uglyNumbers.get(uglyNumbers.size() -1 ) != min) {
//这个判断很重要，不然会有大量重复结果。
uglyNumbers.add(min);
counter++;
}
}
return uglyNumbers.get(uglyNumbers.size() - 1);
}
当然了，我这个代码写的比较low，有高手7行代码解决问题，膜拜一下：
int nthSuperUglyNumber(int n, vector<int>& primes) {
vector<int> index(primes.size(), 0), ugly(n, INT_MAX);
ugly[0]=1;
for(int i=1; i<n; i++){
for(int j=0; j<primes.size(); j++)
ugly[i]=min(ugly[i],ugly[index[j]]*primes[j]);
for(int j=0; j<primes.size(); j++)
index[j]+=(ugly[i]==ugly[index[j]]*primes[j]);
}
return ugly[n-1];
}
Ugly Number 我们引申到质数相关的经典问题。
质数（Prime Number）又称素数，质素定义为大于1的自然数中，除了1和它本身以外再有其他因数的数。
质数问题有3个常见问题：
- 判断一个数是否是质数；
- 给一个自然数N,打印出小于N的所有质数；
- 给一个自然数N，打印出前N个质数；
后两个问题的答案以及效率跟第一个问题，即，你如何判断一个数是质数有关。
判断一个数N是否是质数最简单的办法是根据质数的定义，通过不断的除2 -- N-1之间的数字，看看是否能找到除1和自身之外的质因子。
进一步观察发现除了2之外质数一定是奇数，因为所有的偶数一定有质因子 2。
再通过观察发现只要尝试3 -- N-1的开平方之间的数字就够了，因为因数都是成对出现的，比如：100 ： 1 * 100 ， 2 * 50， 4 * 25，5 * 20， 10 * 10 ，因此只要尝试到10就够了。
bool isPrime(int n) {
if(n < 2) return false;
if(n == 2) return true;
for(int i = 3; i*i <= n; i += 2)
if(n%i == 0) return false;
return true;
}
最后，说一个求质数比较牛逼的方法，筛除法。
这个方法是牛逼的数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes） 公元前276年－－前194年提出的。
就是这个小老头
这个人有多牛逼呢，说个小成就吧，设计了经纬度，并且在2000多年前，用数学的方法测量出了地球直径。
说回 筛除法
因为2是质数，因此可以把2的倍数全部去掉；
接着往下数3是质数，把3的倍数全部去掉;
继续数最小的数是5，把5的倍数全部去掉，依此类推再把7的倍数全部去掉。这样不断的筛除，最后就把素数剩下了。
可能说的比较抽象，我们用动图来演示一下：
伪代码如下
Input: an integer n > 1
Let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding √n:
if A[i] is true:
for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n:
A[j] := false
Output: all i such that A[i] is true.
PS. Markdown 很好用
