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1. 欧氏距离(Euclidean Distance)

欧氏距离是最容易直观理解的距离度量方法，我们小学、初中和高中接触到的两个点在空间中的距离一般都是指欧氏距离。

Matlab计算欧氏距离:

Matlab计算距离使用pdist函数。若X是一个m×n的矩阵，则pdist(X)将X矩阵每一行作为一个n维行向量，然后计算这m个向量两两间的距离。

2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)

顾名思义，在曼哈顿街区要从一个十字路口开车到另一个十字路口，驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离”。曼哈顿距离也称为“城市街区距离”(City Block distance)。

3. 切比雪夫距离 (Chebyshev Distance)

国际象棋中，国王可以直行、横行、斜行，所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？这个距离就叫切比雪夫距离。

4. 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)

闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义，是对多个距离度量公式的概括性的表述。

闵氏距离定义：

两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

其中p是一个变参数：

当p=1时，就是曼哈顿距离；

当p=2时，就是欧氏距离；

当p→∞时，就是切比雪夫距离。

因此，根据变参数的不同，闵氏距离可以表示某一类/种的距离。

闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。

e.g. 二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a与b的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的10cm并不能和体重的10kg划等号。

闵氏距离的缺点：

(1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了;

(2)未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。

Matlab计算闵氏距离（以p=2的欧氏距离为例）：

5. 标准化欧氏距离 (Standardized Euclidean Distance)

定义：标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，那先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等。假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，X的“标准化变量”表示为：

6. 马氏距离(Mahalanobis Distance)

马氏距离的引出：

上图有两个正态分布的总体，它们的均值分别为a和b，但方差不一样，则图中的A点离哪个总体更近？或者说A有更大的概率属于谁？显然，A离左边的更近，A属于左边总体的概率更大，尽管A与a的欧式距离远一些。这就是马氏距离的直观解释。

概念：马氏距离是基于样本分布的一种距离。物理意义就是在规范化的主成分空间中的欧氏距离。所谓规范化的主成分空间就是利用主成分分析对一些数据进行主成分分解。再对所有主成分分解轴做归一化，形成新的坐标轴。由这些坐标轴张成的空间就是规范化的主成分空间。

欧式距离&马氏距离：

马氏距离的特点：

量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰；

马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；

计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。

Matlab计算马氏距离：

7. 余弦距离(Cosine Distance)

几何中，夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异；机器学习中，借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：

两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦为：

$cos(\theta )=\frac{a\cdot b}{|a|~|b|}$ 即, $cos(\theta )=\frac{\sum_{k=1}^nx_{1k}x_{2k} }{\sqrt{\sum_{k=1}^nx_{1k}^2} \sqrt{\sum\nolimits_{ k=1}^n x_{2k}^2 } }$

夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小，余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。

Matlab计算夹角余弦（Matlab中的pdist(X, ‘cosine’)得到的是1减夹角余弦的值）：

9. 杰卡德距离(Jaccard Distance)

杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)：两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示：

$J(A,B)=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$

杰卡德距离(Jaccard Distance)：与杰卡德相似系数相反，用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度：

$J_{\delta } (A,B)=1-J(A,B)=\frac{|A\cup B|-|A\cap B |}{A\cup B}$

Matlab计算杰卡德距离（Matlab中将杰卡德距离定义为不同的维度的个数占“非全零维度”的比例）：

10. 相关距离(Correlation distance)

相关系数：是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法，相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大，则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时，相关系数取值为1（正线性相关）或-1（负线性相关）：

11. 信息熵(Information Entropy)

以上的距离度量方法度量的皆为两个样本（向量）之间的距离，而信息熵描述的是整个系统内部样本之间的一个距离，或者称之为系统内样本分布的集中程度（一致程度）、分散程度、混乱程度（不一致程度）。系统内样本分布越分散(或者说分布越平均)，信息熵就越大。分布越有序（或者说分布越集中），信息熵就越小。

基于概率分布的距离度量

基于皮尔逊相关系数的距离度量

机器学习——几种距离度量方法比较