整除、公约数、同余与剩余系

从本文开始，我们将正式开始介绍有关初等数论的相关知识与概念，我们争取用通俗的语言去把握和描述理论的精髓所在。而不拘泥于具体概念的束缚，以窥探初等数论巧妙的一些思想方法。从这里开始你的行囊里不需要太多的东西，只要会整数的加减乘除即可。东西多了不仅帮不了你，反而会成为前进的负担。你需要首先抛开一切固有思维，清空大脑，带着孩童般的好奇心重新认识这个世界。由于数论经常出现于奥数和智力题中，它往往被当成一种锻炼思维的智力游戏，但随着研究的深入，我们需要建立一套理论才能看清本质。我们可以从最简单的定义出发，利用理性思维建立这些理论。但通过做题与不断地思考是学习数论的必经途径，这样才能有更深刻的理解，这一部分笔者不能代劳，这里只能力图尽力而为，将其中的思想和方法展现在各位面前。

1. 整除

数论研究整数本身（或自然数，语境自明），初等数论主要研究整数之间的关系。整数的运算中，加减是最平凡的，得不出什么深入的结论，从而乘除法是唯一可以着手的地方。考虑一个简单的等式 ma=b（以后若不作特殊说明，所有符号表示整数），任何两个整数之间都可以有像 m,a 这样的乘法运算，但却并不是所有整数都有等式中类似a与b这样的关系。为此，当 a≠0 时，定义满足等式的 a 能整除 b，或b被a整除，a称为b的约数，b称为a的倍数，记作a∣b，否则记为a∤b。

仅从定义出发可以得到整除的许多基本性质，这里就不一一列举了，只给出一个最具代表性的：式子（1），即 a 的倍数的线性组合仍是 a 的倍数。整数集线性组合的这一性质体现了元素之间的共性，后面还会继续深究，这里先举一例来感受其意义。若a∣n,b∣n，则有 ab∣nb,ab∣na，进而有 ab∣n(ax+by)，所以如果有 ax+by=1，则有 ab∣n。
$a\mid b_{k},(k=1,2,\cdots,n)\:\Rightarrow\: a\mid b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_nx_n\tag{1}$

考虑n的所有倍数的集合 kn，它的元素有无穷多个，且性质是平凡的，不多阐述。现在来考虑 n 的所有约数，显然它们是有限的，但我们似乎还得不出更多的结论。不妨先考察一类特殊的数：如果 p>1 除了±1和±p外没有其它约数，p称为质数或素数，反之叫合数，今后我们会约定俗成地用 p, q 表示素数。直观上素数是不能再分解的数，它们是整数的基本因子，任何整数都可以通过有限步分解为素数的乘积。

一个自然的问题是，这样的分解唯一吗？你固有的知识可能使你对这个问题相当地自信，但如果冷静思考地一番，就会发现这种自信其实是没有根据的。它的证明并不十分显然，这里通过反证法来推导。假设有某些整数的素数分解不唯一，则存在最小的这样的数，并设它有两个分解式a=p1p2⋯pn=q1q2⋯qm，其中m,n>1，并且素数按大小排列。由a的最小性知pi≠qj，假设p1>q1，考察式（2）。容易证明后一分解式中不含q1，从而b<a有两个不同的分解式。这与a的最小性矛盾，故所有整数都存在唯一的的素数分解式，即表达式（3）唯一,此方法被叫做无穷递降法。这个证明最早由高斯给出，被称为算术基本定理，它使得整数可以被完全解析。
$b=a-q_1p_2\cdots p_n=q_1(q_2\cdots q_m-p_2\cdots p_n)=(p_1-q_1)p_2\cdots p_n\tag{2}$
$a=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot\cdots p_s^{e_s}\tag{3}$

现在来看数a的所有约数，容易知道它们的分解式必定是式子（4）。若记a共有 $\tau(a)$ 个约数，且它们的和为 $\sigma(a)$ ，则有公式（5）（6）。
$p_1^{e'_1}\cdot p_2^{e'_2}\cdot\cdots p_s^{e'_s},\quad(0\leqslant e'_k\leqslant e_k)\tag{4}$
$\tau(a)=\prod_{k=1}^s{\tau(p_k^{e_k})}=\prod_{k=1}^s{(e_k+1)}\tag{5}$
$\sigma(a)=\prod_{k=1}^s{\sigma(p_k^{e_k})}=\prod_{k=1}^s{\dfrac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}}\tag{6}$

这里可以尝试来思考如下几个问题：
　
　　• 求满足 $\tau(n)=6$ 的最小整数；
　　• 求 $\sum\limits_{d\mid a}{\dfrac{1}{d}}$ 的值。

2. 公约数

有了算术基本定理，整数之间的倍数关系就基本清楚了。而对于两个任意的整数（不一定有倍数关系），只能通过它们共同的约数或倍数来取得联系。两个数a,b共同的约数称为它们的公约数，最大的那个叫最大公约数，记作(a,b)，类似还有公倍数和最小公倍数 [a,b]的概念，最大公约数为1的两个数称为互素或既约的。这些概念都有一些比较简单的性质，可以通过算术基本定理去证明，后面会罗列。公约（倍）数为研究整数之间的关系提供了便利，但它们的定义并不依赖于算术基本定理，你完全可以仅从定义出发得到那些常用结论，算术基本定理只是提供了一种方法而已。

公约数一定程度上体现了整数之间的相关程度，互素则表现了整数之间的无关性。这个观念为我们分析整数集的结构提供了一个好的思想，不大于m的所有数可以按照和m的相关程度分类，这个话题我们会在后面展开。现在来考虑一下与 m 无关的（互素）数的个数 φ(m)（欧拉函数），对素数 p 显然有 $\varphi(p)=p-1$ 和 $\varphi(p^e)=p^{e-1}(p-1)$ ，利用容斥原理排除掉不互素的数之后可以得到公式（7）。
　　 $\varphi(m)=m\prod_{k=1}^s{(1-\dfrac{1}{p_k})}=\prod_{k=1}^s{\varphi(p_k^{e_k})}\tag{7}$
关于这个计算式的证明可参见：欧拉函数的计算式

算术基本定理虽然很强大，但用它来求公约数或进行整数关系分析的代价太大，并且也很难得到进一步的结论，这时必须引入别的工具。在不做素数分解的情况下，分析整数关系最直观的方法就是带余除法，对任意整数 a≠0, b，存在唯一数对 m, r 满足式子（8）。由 $r=b−ma$ 知 a,b 的公约数必定是 r 的约数，并且 r 更小。如果继续对 a, r 做这样的运算，我们一定可以得到a,b的最大公约数。这便是辗转相除法的基本思想，早在欧几里得的《几何原本》中就有记载（故又称Euclid算法），熟悉算法的你一定也不陌生，这里就不展开细节了。
$b=ma+r,\quad(0\leqslant r<\left|a\right|)\tag{8}$

带余除法为整数的分析提供了一个简单有效的方法。比如我们再回头考虑一下式（1）中的所有线性组合，首先(b1,b2,⋯,bn)显然也是每个线性组合的约数。考察线性组合中的最小正数 c，如果它不是 bk 的约数，使用带余除法 $b_k=m_c+r，r=b_k−m_c$ 也是线性组合但却更小。所以c是b1,b2,⋯,bn的公约数，结合刚才的结论可知c=(b1,b2,⋯,bn)。

最大公约数可以看做是整数间的一个基本代数运算，我们已经看到有很多不同的途径来得到它，而这些途径并不依赖于最大公约数的定义。这就让我们想到，其实可以将它们看成是最大公约数的等价定义，在不同的场合灵活使用，可以得到更简洁的方法。以下便列举了这些等价定义，你可以尝试证明它们的等价性。

（1）原始定义：最大的公约数；
　　（2）约数的公倍数：是所有公约数的最小公倍数；
　　（3）素数基本定理：素数分解式的公共部分；
　　（4）线性组合：线性组合的最小正数；
　　（5）辗转相除法：辗转相除法得到的最小正数。

作为一个基本运算，需要稍微研究一下最大公约数的基本性质，你可以尝试通过不同途径证明下面的基本性质：
（1） $m(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(ma_1,ma_2\cdots,ma_n);$
　　（2） $(a1,a2,⋯,an)=((a1,a2),⋯,an)；$
　　（3）若 $(m,a)=1$ ，则有 $(a,mb)=(a,b)；$
　　（4）若 $m∣ab,(m,a)=1，$ 则 $m∣b；$
　　（5）若 $a∣m,b∣m,(a,b)=1，$ 则 $ab∣m；$
　　（6） $(a,b)[a,b]=ab。$

公约数虽然定义简单，但却变化多端，当和其它知识结合起来时，问题会变得很困难。你需要熟练掌握初等数学中各种变形技巧，并需要足够的想象力和创造力。必要的练习是最好的锻炼场所，你不能绕过那一步，如下只列几例供参考。
• 已知 $ad−bc=±1，u=am+bn,w=cm+dn，$ 求证 $(u,w)=(m,n)；$
　　• a为奇数，则必有 $d<a$ 使得 $a∣2^d−1。$ 设这样数最小为 $d_0$ ，则 $a∣2^h−1$ 成立的充要条件是 $d_0∣h；$
　　• 证明梅森（Mersenne）数 $M_p=2^p−1$ 两两互素；
　　• 求证 $1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ 不是整数；（提示：构造一个整数与之相乘后不为整数）
　　• 若(a,b)=1，则对任意 $m，a+kb,k=0,1,2,⋯$ 中有无数个与m互质的数。（提示：无穷递降）

3、关于素数分布

话说素数的确非常重要，后面我们还会看到它更多的性质，这里再多说两句。首先，欧几里得在《几何原本》回答了素数的个数问题，假设仅有有限个素数 $p_1,p_2,\cdots,p_n$ ，考察表达式 $p_1p_2\cdots p_n+1$ 。它不以任何 $p_k$ 为约数，从而它也是素数，与假设矛盾，这就证明了素数有无穷多个。该证明使用了构造法和反证法，它的美妙是数学史上惊艳的一笔，你不妨可以用同样的方法解决以下问题。
　
• 相邻素数之间的间隔可以有任意大；
　　• 证明费马数 $F_n=2^{2^n}+1$ 的素因子互不相同，从而素数有无穷多个；
　　• 使用数列 $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1,(a_0=2)$ ，证明素数有无穷多个；
　　• 求证形如 $4k+3$ 的素数有无穷多个；
　　• 如果 $n∣(n−1)!−1，$ 则n必为素数。

根据算术基本原理，并使用级数理论，容易有以下著名的欧拉公式（式子（9））。这个神奇的公式将调和级数与所有素数扯上了关系，这也成为了研究素数的一个突破口，巍峨耸立的黎曼猜想就是对它的扩展研究。顺便提一句，因为调和级数是发散的，故由此此也可以证明素数有无穷多个。
　　 $1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\cdots=\prod_{k=1}^{\infty}{(1-\dfrac{1}{p_k})^{-1}}\tag{9}$

关于素数，还有一些自然的问题是：如何判定一个数是否为素数？如何找出一定范围内的所有素数？它们的分布是怎样的？是否有素数的通项公式？这些问题是很难回答的，它们也是数论的难点，很多问题都还没有被解决。古希腊时期的Eratosthenes筛法是目前仍在使用的筛选素数的方法，它逐步划去每个素数的倍数，从而仅余下素数，这在一般的算法教材里都有介绍。另外一般用 π(x) 表示不大于x的素数的个数，公式（10）是就是著名的素数定理，它表明了素数的平均密度。该定理最早由勒让德和高斯作为猜想提出，将近一百年后才被人用复变函数的理论所证明，再过了50年才有了初等证法。关于素数的问题我们就不深究了，它们也不是这里能回答得了的。
　　 $\pi(x)\sim \dfrac{x}{\ln{x}},\quad(x\to\infty)\tag{10}$

4、同余

公约数是我们要讨论的主要整数关系，对整数m而言，其它整数与它的关系以 m 为周期出现着重复，具体讲就是任何整数和带余除法中的余数是等价的。为此我们可以在整数中建立另一种等价关系，如果 $m \neq 0, m∣a−b，$ 即 $a-b = km$ ，则称 a, b 在模 m 下同余 或 a 同余于 b 模 m, b 是 a 对模 m 的剩余，记做 $a≡b(mod \; m)$ ，该关系式称为模 m 的同余式。比较容易证明同余关系是一个等价关系，它将整数限定在一个有限的空间里，大大方便了讨论。同余理论由高斯提出，它是数论的基础语言。由于同余继承自整除的概念，它的性质一般还是用整除来证明，但作为一个强大的语言，它有着自己简洁清晰的特点。以下是一些同余的基础性质，各位可以自行证明或者查看网络资料，这些都是较常用的基本性质（重要）：

（1）若 $a\equiv b,c\equiv d\pmod{m}$ ，则有 $a\pm c\equiv b\pm d\pmod{m}$ 和 $ac\equiv bd\pmod{m}$ ；
　　（2）若 $a\equiv b\pmod{m}$ ，则 $da\equiv db\pmod{m}$ ；
　　（3） $da\equiv db\pmod{m}$ 等价于 $a\equiv b\pmod{\dfrac{m}{(m,d)}}$
　　（4）若 $a\equiv b\pmod{m},m'\mid m$ ，则 $a\equiv b\pmod{m'}$ ；
　　（5） $a\equiv b\pmod{m_k},(k=1,\cdots,n)$ 等价于 $a\equiv b\pmod{[m_1,\cdots,m_n]}$ 。

性质（1）比较平凡，（2）（3）是对操作数进行缩放时的性质，（3）中包含了两种极端情况 d∣m 和(d,m)=1 的性质。（4）（5）是对模数进行缩放时的性质，性质（5）可以将问题互相转化，把大模数分解为几个小模数，或者反过来将多个等式合并为一个。性质（2）中没有除法，那是因为“倒数”还没有被定义。当(a,m)=1时，使用线性组合的定义容易证明，一定存在d使得 $da\equiv 1\pmod{m}$ ， $a^{-1}=d$ 称为a的逆。有了逆就可以两边同时“除以”一个数了，但需要注意逆仅对与模互素的数存在。

既然同余是个等价关系，那它的等价类就可以看做是一个整体，所有满足 $x\equiv r\pmod{m}$ 的整数组成的集合称为一个剩余类，记作 $r\bmod{m}$ ，模m的所有剩余类组成的集合记作 $Z_m=\{r\bmod{m}\mid 0\leqslant r\leqslant m-1\}$ 。当 (r,m)=1 时，即与 m 互素的数 r ， $r\bmod{m}$ 又称为既约剩余类，模m的所有既约剩余类的个数显然共有 φ(m) 个，φ(m) 又称为欧拉函数。在一个只有加减乘除的同余式里，任何数都可以等价地看成它的同余类，故以上性质对同余类也是成立的。同余类中同样可以定义逆，容易证明逆存在则必是唯一的，且有 $(a^{-1})^{-1}=a$ 。

下面有一个思考题，你可以尝试利用同余的性质来解决：

• 求 $3^3\cdot 45$ 的末两位数。

5、剩余系

主要区分上面在同余理论下的剩余类与我们这里要讨论的剩余系。

虽然剩余类和它的元素是等价的，但元素本身更容易被直接讨论。于是从每个剩余类中取一个元素组成的集合称为一个完全剩余系，它的定义是：一组数 $y_1, ···y_s$ 称为模 m 的完全剩余系，如果对任意的 a 有且仅有一个 $y_j$ 是 a 对模 m 的剩余，即 a 同余于 $y_j$ 模 m 。同时还应注意类似 $0, ···,m-1$ 称为模 m 的最小非负（完全）剩余系； $m为奇数，-[m/2],···，-[-m/2]-1，当m为偶数，-[m/2]+1,···,-[-m/2]$ 为绝对最小（完全）剩余系； $-m +1 ,···,0$ 最大非正（完全）剩余系。

相应地还有既约剩余系的概念。定义是：一组数 $z_1, ···z_t$ 称为模 m 的既约（互素）剩余系，如果 $(z_j, m)=1, 1 \leq j \leq t$ ,以及对任意的 a, (a, m)=1, 有且仅有一个 $z_j$ 是 a 对模 m 的剩余，即 a 同余于 $z_j$ 模 m 。剩余系的元素可以根据需求来选取，而且它们有以下基本性质(关于具体证明可参考推荐书籍) :
（1）若 ${a_k}$ 是一个完全剩余系，则对任何整数c， ${a_k + c}$ 仍然是一个完全剩余系；
（2）若 ${a_k}$ 是一个完全（既约）剩余系，且 $(d,m)=1$ ，则 ${da_k}$ 仍然是一个完全（既约）剩余系。

性质（2）告诉我们，如果 ${r_1,r_2,⋯,r_φ(n)}$ 是n的既约剩余系，且 $(d,m)=1$ ，则 $\{ar_1,ar_2,\cdots,ar_{\varphi(n)}\}$ 也是既约剩余系。那它们的乘积应该是模n同余的，即式子（1），这样就得到了著名的欧拉定理（公式（2））。取n为素数 p 时，则又有了费马小定理（公式（3））。欧拉定理给出了一个求元素逆的方法，即 $a^{-1}=a^{\varphi(n)-1}$ 。另外，欧拉定理还给出了既约剩余系的元素与“单位元”的关系，这里是我们首次讨论既约剩余系元素之间的关系，后面还会继续研究。
$r_1\cdot r_2\cdot\cdots r_{\varphi(n)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot\cdots ar_{\varphi(n)}\pmod{n}\tag{1}$
$a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}\tag{2}$
$a^p\equiv a\pmod{p}\tag{3}$

简单考虑一个的习题：
• 求m的最小正既约剩余系的所有元素之和。

剩余系的提出，最终还是为了研究同余意义下的整数空间，在这里就是要弄清完全（既约）剩余系的结构。既然整数 m 可以进行素数分解，想必把模m的剩余系按其素数分解分割会是个不错的想法。具体来说，对于 m 的互质分解 $m=m_1m_2\cdots m_n$ ，我们想看到的是 m 的剩余系和 $m_k$ 的剩余系之间的关系。

先从简单的 $m=m_1m_2$ 看起，参考进制数的方法并考察 $x=x_1+m_1x_2$ ，其中 $x_1$ 是 $m_1$ 的完全剩余系， $x_2$ 是 $m_2$ 的完全剩余系。容易证明当 $x_k$ 遍历 $m_k$ 的完全剩余系，则 $x$ 遍历m的完全剩余系。使用归纳法可以将这个结论推广到 $m=m_1m_2\cdots m_n$ 的情形，但由于其形式不对称，推广的结论并无太大理论价值。由于 $(m_1,m_2)=1$ ，可知将上式中的 $x_1$ 换成 $m_2x_1$ 结论任然成立。

另外，当 $x_k$ 遍历 $m_k$ 的既约剩余系时，首先由刚才的结论， $x=m_2x_1+m_1x_2$ 两两不同余，其次也容易证明它们与 m 互素。综合起来我们就有结论：当 $x_k$ 遍历 $m_k$ 的既约剩余系时， $x=m_2x_1+m_1x_2$ 正好遍历m的既约剩余系。使用对应的证明方法（两类剩余系方法不同），这个结论可以轻易地推广到 $m=m_1m_2\cdots m_n$ 的情景，甚至为每一项再乘上任意与 $x_k$ 互素的数，结论任然成立。即当 $x_k$ 两两互素，且有 $M_k=\dfrac{m}{m_k},(a_k,m_k)=1$ ，则当 $x_k$ 遍历 $m_k$ 的完全（既约）剩余系时，表达式（4）和（5）都正好遍历 m 的完全（既约）剩余系。
$x=M_1x_1+M_2x_2+\cdots+M_nx_n\tag{4}$
$x=a_1M_1x_1+a_2M_2x_2+\cdots+a_nM_nx_n\tag{5}$ 　
　　表达式中的 $x_k$ 就像 x 的坐标一样，剩余系被分解到了个互相独立的维度，各个维度可以被单独地研究。值得提醒的是，以上表达式的每一项其实刚好是 $x_k$ 的剩余系，它们可以相加得到m的剩余系 $x=x_1+m_1x_2+\cdots+m_1m_2...m_{n-1}x_n$ 。有一个自然的问题是，有没有表示为乘法的表达式 $x=x_1x_2\cdots x_n$ ，同样满足这样的要求呢？结合前面结论，容易构造出公式（6）中的分解（ $a_k,M_k$ 的意义同上），它的每一项是 $m_k$ 的剩余系，各项相乘后是m的剩余系。有趣的是，表达式中各项之和任然遍历完全剩余系，而这对既约剩余系是不成立的（见下面练习）。
$x=(a_1M_1x_1+M_2+\cdots+M_n)(M_1+a_2M_2x_2+M_3+\cdots+M_n)\cdots(M_1+M2+\cdots+a_nM_nx_n)\tag{6}$

尝试解决以下问题：

• 求13的一个完全剩余系 ${r_k},(1\leqslant k\leqslant 13)$ ，满足 $r_k\equiv k\pmod{3}$ 和 $r_k\equiv 0\pmod{7}$ ；
　　• 若 $x_k$ 是m的既约剩余系，则对任何满足 $(c,m)=1$ 的整数， ${a_k+c}$ 都不可能是既约剩余系。
　　• 不可能有 $m_k$ 的既约剩余系 $x_k$ ，使得 $x=x_1+x_2+\cdots+x_n$ 和 $x=x_1x_2\cdots x_n$ 都是m的既约剩余系；

以上分解方法从另一方面给出了欧拉函数的性质：如果 $(m_1,m_2)=1$ ，则 $φ(m_1m_2)=φ(m_1)φ(m_2)$ 。利用这个性质可以得到公式（7），另外，这个公式还可以这样解释：将 $1,2,⋯,n$ 按照与n的最大公约数d划分为不同的集合，容易知道每个集合有 $\varphi(\dfrac{n}{d})$ 个元素，所以共有 $\sum\limits_{d\mid n}{\varphi(\dfrac{n}{d})}=\sum\limits_{d\mid n}{\varphi(d)}$ 个元素，这样就得到公式（8）。换句话说，一个完全剩余系被划分成了若干个既约剩余系，不得不说是一个很新颖的划分方法。
$\sum_{d\mid n}{\varphi(d)}=\sum_{e'_1=0}^{e_1}\cdots\sum_{e'_s=0}^{e_s}{\varphi(p_1^{e'_1}\cdots p_s^{e'_s})}=\sum_{e'_1=0}^{e_1}{\varphi(p_1^{e'_1})}\cdots \\ \sum_{e'_s=0}^{e_s}{\varphi(p_s^{e'_s})}=p_1^{e_1}\cdots p_s^{e_s}=n\tag{7}$
$\sum\limits_{d\mid n}{\varphi(d)}=n\tag{8}$

剩余系分解的一个典型应用就是解一次同余方程组，下篇我们会专门研究同余方程，这里只介绍这类方程组（式子（9）的左侧）。当 $m_k$ 两两互素时，根据前面的分解定理可知，在模 $m=m_1m_2\cdots m_n$ 下方程有且仅有一解 $x\equiv M_k^{-1}r_k\pmod{m_k}$ 。该结论历史上称为孙子定理（又称中国剩余定理），因为《孙子算经》中“物不知数”的问题其实就是一次同余方程组。
$\begin{cases}\:x\equiv r_1\pmod{m_1}\\\:x\equiv r_2\pmod{m_2}\\\:\cdots\:\cdots\\\:x\equiv r_n\pmod{m_n}\end{cases}\:\Leftrightarrow\: x=M_1M_1^{-1}r_1+\cdots+M_nM_n^{-1}r_n\pmod{m}\tag{9}$

以上定理限定 $m_k$ 两两互素，且x系数为1，对于不满足条件的方程组，可以通过前面的结论进行等价变换。其中 $M_k$ 意义同上, $M_k^{-1}$ 是 $M_k$ 对模 $m_k$ 的逆。即 $M_kM_k^{-1} \equiv 1 \pmod{m_k}, 1 \leq j \leq k$ 。关于中国剩余定理其实还有很多中方法求解，更多解法，可参见，中国剩余定理的五种解法
　
　你可以尝试如下练习：
　 • 求解“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
　　• 求的7一个完全剩余系，每个数模2,3,5的余数都是1；
　　• 解方程 $19x\equiv 556\pmod{1155}$ ；
　　• 解方程组　
$\begin{cases}\:x\equiv 3\:\:\pmod{8}\\\:x\equiv 11\pmod{20}\\\:x\equiv 1\:\:\pmod{15}\end{cases}\begin{cases}\:3x\equiv 1\pmod{10}\\\:4x\equiv 7\pmod{15}\end{cases}\begin{cases}\:x+2y\equiv 1\pmod{5}\\\:2x+y\equiv 1\pmod{5}\end{cases}$

虽然我们还没有完全弄清既约剩余系的结构，但还是可以再做一些有趣的讨论的。既约剩余系中的任何数都有逆，尝试将它们两两配对，所有这样的数的乘积为 1，如果再将那些逆为自身的数单独研究，也许可以得到既约剩余系的整体性质。先从模 p 看起，对逆为自身的数有 $(x-1)(x+1)\equiv 0\pmod{m}$ ，从而，满足条件的只有两个数 ±1。这样便有了著名的威尔逊（Wilson）定理（公式（10）），它给出了既约剩余系 $\{a_k\}$ 积的整体性质。
$\prod_{k=1}^{p-1}{a_k}\equiv (p-1)!\equiv -1\pmod{p}\tag{10}$

以上讨论过程对奇素数的幂 $p^e$ 仍然成立，对 $2^n$ 独立讨论也可知模为 1,2,4 时结果为 −1，其它模 $2^n$ 的结果为 1。对一般的模 $m=p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}$ ，考虑公式（6）表示的既约剩余系的积 $\prod$ ，因为除了 $2p^e$ 外都有 $\prod\equiv 1\pmod{p_k^{e_k}}$ ，故除了模为 $2p^e$ 外都有 $\prod=1\pmod{m}$ 。总结以上可以有威尔逊定理的扩展定理：模为 $m=1,2,4,p^e,2p^e$ （p为奇素数）的既约剩余系的乘积模m余为 −1，其它形式模的既约剩余数之积模m余为1。这个既约剩余系的整体性质在一些问题中很有作用，你可以尝试者解决以下问题：

• 若 $a_1,\cdots,a_{p-1}$ 和 $a'_1,\cdots,a'_{p-1}$ 是奇素数p的两个完全剩余系，证明 $a_1a'_1,\cdots,a_{p-1}a'_{p-1}$ 一定不是完全剩余系。再证明该结论对任意模m也成立；

• 求证 $1^2\cdot 3^2\cdot\cdots(p-2)^2\equiv 2^2\cdot 4^2\cdot\cdots(p-1)^2\equiv (\dfrac{p-1}{2}!)^2\equiv -1^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}$ 。
　　
以上证明中的配对思想非常重要，请考虑以下问题：

• 求证存在 $x^2\equiv -1\pmod{p}$ 的充要条件是 $p=4k+1$ ，并由此证明格式为 $4k+1$ ，的素数有无穷多个。

【初等数论】整除、公约数、同余与剩余系