伊塔洛·卡尔维诺写了一个寓言故事叫做《黑羊》（Italo Calvino ' The Black Sheep '），说是从前有一个国家，内部的每个人都是小偷。每天晚上，大家都会到另外一家去偷，同时自己家里也一定有人光顾。就这样，每个人忙忙碌碌的，倒实现了动态平衡。既没有哪个人变得富有，也没有人显得贫困，彼此相安无事。直到有一天，外面来了一个诚实人。诚实者没有在晚上离家偷东西，结果就耽误了那个准备到他家行窃的人。这个人自己家里被偷却未能得到补偿，便产生了亏损。接连几天，都有人因此而吃亏。人们纷纷责难诚实人，说你不偷东西也行，但晚上得离开家。诚实人真的就躲到河边看月色也不肯随大流。渐渐的，他越来越穷，同时就有人越来越富。富人们有了钱，不再想卖苦力，开始雇人替自己行窃。他们的钱财越来越多，组织的偷窃队伍越来越大，从而愈加富裕。而穷苦人不能对抗，一路贫穷日甚。就这样，一个安静的国家被一个老实人打破了循环，富人和穷人越来越多，可从始至终都只有他是一个诚实的人。

不必纠结于故事里的逻辑不完美，寓言只是情感的浓缩，但是《黑羊》似乎很适合作为现在流行的内卷与躺平议题的注脚。封闭的王国里，人们一直在挣扎，即便诚实人想躺平，也影响不了周围太多的人。至于寓意中穷富因此而出现，那只是故事设定罢了。绝对的动态平衡必然是脆弱、不可维系的，诚实人仅需理解为打破平衡的任何因素，它制造了分化，却加剧了人们的内卷。前提是，只要区域的边界封闭且大多数人甘于延续既定的秩序。

内卷这个词源于英文involution，其中volv词根的意思是滚动，转动，用“卷”来表达也很传神。evolution是向前卷，即进化，revoluton是重新卷，即革命，而involution当然就是向内卷。关于这个词引入汉语的过程以及最初引入时已建立的转义偏差有很多文章介绍过，总之今天众人赋予其上的含义大约就是：没有意义的精细与耗散。

说到精致，又想起了另一个词：凡尔赛，可是真正的凡尔赛恰恰是内卷的产物。法国在太阳王路易十四统治时期强大起来，路易十四是法国执政时间最长的君主，也被后世许多人认定为法国最出色的国王。但是少年时期的他经历却颇多坎坷。两次投石党之乱，当一群巴黎人闯入宫殿时，10岁的路易十四只能以装睡躲过威胁。而后来的第二次投石党之乱，路易十四的母亲安妮和孔代反目，贵族联盟几乎强大到可以放逐太后颇为倚重的马扎林甚至软禁太后的程度。历史学家都认为这样的危机体验奠定了此后路易十四对贵族和平民的极度不信任。如何防止贵族生事呢？路易十四想到了一个好办法。他大肆兴建凡尔赛宫，在里面举办无休止的饮宴、舞会、派对和庆典。路易十四亲自示范和制定了许多着装礼仪方面的繁文缛节，特别是注意把等级高低观念融入到所有的细节中。这样，当众多的名门望族为了珠宝的品等，排位的座次，跳舞的时长甚至菜肴的优劣而争执不休时，路易十四的凡尔赛内卷也就成功的把他们潜在的经历与金钱全都耗尽。好的结果是还有个副产品：法国时尚文化。

限定边界的内向生长会占据尽可能多的空间，但是内卷的极致会填满全部的空白吗？这是我们今天要说的主题。一个数学形式的问题是这样的，用一根任意弯折的线可以通过一个封闭的平面区域，比方说一个正方形，里面全部的点吗？乍一听，应该是可以的，用圆珠笔在纸片上涂色，一定是可以涂满的。但是细想起来似乎又不可能，线是一维的，面是二维的。圆珠笔道之所以能涂色是因为其有宽度，而理论上的线没有宽度。无论怎么排布线条，比如横纵交织，或螺旋递进，好像都能在正方形里找出可以落在这根线之外的点。这就好似是在[0,1]区间里一个个的撒点，无论撒多少次，这些点总是填不满整个宽度的，因为[0,1]区间里的点比按次计算的点数即自然数要更多，它是无法一个个罗列出来的。这称之为不可数。

然而，回到上述用线填满正方形的问题，这个问题的答案却是：可以。这根不可思议的可以填满正方形的线叫皮亚诺曲线，由意大利数学家皮亚诺最初发现。具有这样性质的线条不止一种，还有其他可能，比如后来找到的希尔伯特曲线。用一维能堆绕出来二维，很反常吧？所以，这根线并不是普通的定义形式，它是一种极限曲线。

以皮亚诺曲线为例，具体来说，这个过程有点像手机开机解锁时画的9点连线密码。把要被填充的正方形分成3行3列等大的9个方格。于是这每个方格正中心加起来的9个点就组成了一个划线开机的画面。从最左下角沿着左边向上到左上角横着向右移动一格，继续向下划到底，再向右横移一格，最后沿右边一路向上到右上角。整个样子就像是一个横着放倒了的s形。这是建立皮亚托曲线的第一步。第二步是把第一步里的9个方格（称为一阶方格），每个再进一步各自在其内部细分为33个更细的方格（称为二阶方格）。用刚才说的横放s形连线方案把新画出来的9组33的二阶方格都连接起来，此时整个正方形里就有9段重复的横s线段。稍微调整一下这些线段的朝向，很容易把这它们连接为一条完整的曲线，这是皮亚托曲线的第二步骤。再以此类推，下面的第三步骤，是在正方形里先画出9组第二步骤时的线条，然后调整方向衔接称为第三步骤曲线。如此不断重复下去，最后这个序列的极限，可以被证明将会通过正方形里的每一个点。

这里要注意的是，曲线的极限并不等于曲线序列中的任何一条，哪怕是很靠后的步骤形成的曲线。构造步骤当中的每一步皮亚诺曲线都是一维的，可一旦取极限后就成了二维。由此也不难推知，三维空间立方体也存在着这样的对应曲线可以通过其中的每一个点。这样的曲线数学上统称为空间填充曲线。其神奇之处还在于，构造过程中的曲线都是不自交的，也就是不会重复通过自身上的点，数学上管这样的线叫做弧。然而无穷步骤后的极限曲线却不再是条弧，上面实际有无穷多个二重点、三重点。数学上可以证明，没有弧可以作为空间填充曲线的，任何一条线要想填充高维空间，必须有不可数个多重点。这个特点正对应着构造模式的秘诀：充分内卷，随着步骤推进产生出无穷无尽的细节。

无穷无尽的细节嵌套会产生一个你可能听过的几何对象：分形，它会造就奇妙的不断放大又不断自我重复的神奇现象。这就好比你打开一张泰国地图，放大里面的每个城市都会得到一个更小的泰国在里面，而且这样的尺度嵌套没有尽头。似乎这张地图储存有无穷的信息量。可是众所周知数据量一定是有限度的，分形何以能够产生没有止境的信息呢？原因就在于重复，它没有增加信息量，只是巧妙地把近似周期叠加到了尺度轴上。所以，这样的尺度叠加起到了无限压缩作用。

如果这里不要求无限压缩，而只要求有限度的压缩，内卷分形的思路还可以起作用吗？要回答这个问题，我们来看看另一个情况。变形金刚G1系列里，威震天变形后成为一把枪直接握在红蜘蛛的手里，这明显违反了体积守恒原则，如此大块头的机器人怎么就在变形后会缩小呢？又比如挖地虎组合成的大力神身高有时候显得比它们个体累加要大的多，甚至一只手就可以握住整个擎天柱。最极端的是作为行星的宇宙大帝，他的人形模式同样显著的变小。这种伸缩是怎么做到的？如果你不选择简单忽略，很多变形金刚粉丝幻想了许多可以解释尺度缩放的时空变换技术，其中有一个答案我很喜欢，威震天使用的技术叫做纳什嵌入。

纳什，就是约翰·纳什，电影《美丽心灵》里那位了不起的数学家。设想这样一个问题，把一个二维图形嵌入到三维空间当中。这太容易了，可以想到有无数种方式把二维面揉进三维立体里。是的，但是现在要增加一个要求，这种嵌入必须是等距嵌入，也就是原先二维面上任何两个点之间的距离等到浸入三维空间后必须保持不变。这好像也不太难啊，例如一张A4纸，上面打印有方格，把打印纸绕起来两边一粘形成圆筒，这个嵌入三维空间的方格本身距离就没有改变。但是并不是所有的二维图形都这么容易嵌入。如果现在进一步加大难度，想让二维面片在嵌入后的尺度和形状有所改变，那么还能够做到等距吗？这引出了一个著名的奇异问题，一个光滑的二维球面设法嵌入到三维空间，它可以在保持等距性的同时维持表面的光滑并且还能缩小球的尺寸吗？

早先的人一致认为这是做不到的。等距性要求等于是保持了表面网格结构的刚性，相当于这个球面是硬纸板做的，是脆的，想要让它缩小体积且维持等距刚性，那只能是把这个硬纸板球面切碎，或者压皱，才能团成更小的纸团。可是纳什却给出了反直觉的结论。他用偏微分方程存在解的技巧证明，有一种等距变换不需要褶皱或者切断球面却可以将其光滑的缩小到任意半径，只要是升维嵌入到高阶空间即可。

这种变化的秘诀就是扭曲。

这有点像我们用金属丝横纵编织成一个正方形网格，网格的每个格点位置都装有允许转动的固定栓，推动这个金属框架产生错切移动，那么整个金属网格就会被大大压缩面积，数学课本里讲解三角形稳定性和平行四边形不稳定性时经常使用这个例子。这里面的沿着规范网格的扭动就是造成压缩的原因。这有助于理解纳什的技巧，虽然纳什使用的数学技术复杂得多。纳什意识到，等距要求创造的刚性不是简单理解的硬纸板那种硬法，而是金属网格那样的硬法，是可以错动的。在包括球面在内的任何二维平面上，只要对规范网格沿着两个方向不断地扭转、错动，使其越来越精细的折叠，就能利用这样的细部堆叠为压缩提供可能空间。由于每一步都是像推动金属网那样的顺势扭动，而不是硬性的掰弯，所以光滑没有被打破，可是弯曲却被制造出来。这就是纳什嵌入，它类似于分形，只是它不需要添加无穷细节，而只要收纳的细节卷绕延伸的效果足已补偿空间缩小带来的靠近效果从而维持表面距离不变也就可以啦。

如果还想象不出来就拍拍一下自己的大脑，人类大脑表面的沟回很形象的展示了纳什嵌入的样子，而人类的高阶智慧也正蕴藏在这些褶皱之中。

纳什在增加的维度空间里奇妙的制造出光滑的褶皱。光滑和褶皱本是矛盾的概念，但是纳什却用自己的“无限扭动”表明它们可以相容。可是这种相容是有彼此对称限度的。在数学上，光滑度用字母C和右上角的数字角标来表示。C0就是最普通的连续，不间断的线条。C1则是导数为连续，即线条的改变速度是平滑的，没有突变的。C2是导数的导数连续，也就是线条改变的加速度没有断裂式的跳变。以此类推，Cn就是线条的n阶导数连续。这个n也可以是分数，比如2又1/3代表的光滑度界于C2和C3之间。纳什创造的光滑褶皱指的是C1连续，如果光滑度要求进一步的提高，那么纳什嵌入的技巧也无法满足要求，这就是1940 年代，数学家解决的外尔（Weyl）问题，他们证明C2条件下的等距嵌入无法做到使得球体收缩。

纳什指出C1行，外尔问题的解指出C2不行，因此纳什嵌入所支持的最大光滑度，C后面的数字，应该就在1和2之间。如果要求的曲线更加光滑，那么纳什嵌入的扭动技巧就会失效。1960 年代，尤里·博里索夫（Yurii Borisov）进一步发现C（1,1/13）的嵌入仍可以弄皱球体，而C（1,2/3）嵌入则不能。所以，这个潜在的最大光滑度存在的区间被进一步缩小。但是在博里索夫之后的几十年间，数学家们并没有找出一种能够更接近于这一确切界限的方法，而最多只是在2016年，由米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhael Gromov）提出了一个猜测，这个界限，如果存在的话，可能会是C（1,1/2）。这一切，直到最近一个意外的方向带来了新突破。这个方向根本不是几何学，而是流体力学。

一切材料间都有摩擦力，众所周知，摩擦力是使得速度减慢的真正原因。但是多年来，物理学家已经观察到湍流的一个特性：即使没有内在摩擦或者说没有粘度，这些流体依然会减慢速度。这似乎违反了动能守恒，但是为什么呢？1949 年，拉斯·昂萨格（Lars Onsager）对此提出了解释，他猜测无摩擦耗散与湍流光滑度缺损有关。当某种流动因扭曲变得足够粗糙时，它就会开始自行的能量耗散。

1994年以前的工作已经表明，如果流体光滑度比C（0,1/3）更好，即上角标大于1/3，那么这样的流体是能量守恒的，不会引起耗散。而到了2018年，菲利普·伊塞特（Philip Isett）证实了前述昂萨格猜想的正确性，一种流体的光滑性仅为C0，最多也不超过C（0,1/3）的确会打破动能守恒，引发自动耗散。这前后的夹击意味着，在湍流粗糙度引发能量耗散的问题上，同样存在着阈值确定的问题，而且它使用的技巧和纳什嵌入临界值高度相关。最终，在2018到2020年间，普林斯顿的卡米洛·德莱利斯（Camillo De Lellis）、莱比锡大学的多米尼克·伊诺恩（Dominik Inauen）还有首师大学的曹文涛等接力发表成果证明格罗莫夫猜测的纳什嵌入光滑度阈值C（1,1/2）的确对任何有固定边界的流形都成立。唯一美中不足的是，这个结果针对的嵌入空间是8维，而不是人们更像了解的3维。因为额外的维度能够让数学家获得更多的空间来添加扭曲，这会使问题变得更容易一些。

数学上对内卷函数有着简洁的定义，一个函数如其逆函数为自身，则称内卷函数。内卷必然的推论是当该函数f作用在两个元素x和y身上时，必然有f（x,y）=f(y)f(x)。你看多么形象。两个人共同行动，你做我的，我做你的，便是内卷。内卷就这两个作用，让空间不起摩擦的光滑挤压，是为“腾地方”，又让潮流不起摩擦的耗尽能量，是为“泄火气”。躺平大概是不愿看到这一切都不如己愿的平静发生，于是挑战了嵌入和湍流发生的平滑度极限。如果大势如此，当然可以用增添硬度来打破，只是也有可能最终只成为流动的死去的边界背景。

烛残漏断频欹枕，起坐不能平。世事漫随流水，算来一梦浮生。起坐不能躺可能？