鸡兔同笼
一、考情分析
鸡兔同笼问题在最近几年的国家公务员考试中已经不多见了，但是偶尔还会出现。在各省的公务员考试中，这类问题出现的频率还是比较高。纵观这几年的考题，鸡兔同笼问题难度越来越大，考生需要熟练掌握其解题方法。
二、问题概述
“鸡兔同笼”是我国古代的一类有名的算术题，最早出现在《孙子算经》中。闲话插一句，《孙子算经》大约是公元四、五世纪写的，离现在已经有一千多年的历史了，这本书是我国有名的《算经十书》里面的一本，大家有兴趣可以去看一下。
话题转回来，《孙子算经》里面有这么一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”转化成为现在的话来说就是：“现在把一群鸡和一群兔子关到一起，有个人去数一下，从上面数，发现一共有35个头，从下面数，发现有94条腿，问有多少只鸡，多少只兔子？”
下面我们来介绍两种方法来解决这个问题。
三、解题方法
（一）假设法
首先我们用一种常规的方法来做做这道题。我们知道，一只鸡有2条腿，一只兔子有4条腿，现在一共有35只动物，却有94条腿，说明鸡和兔都是存在的。我们假设所有的动物都是鸡，那么35个动物就应该有70条腿，这样就少了24条腿，对吧？大家可以想一想，这24条腿是从何而来的？原因就出在我们的假设中，我们把所有的动物都看成是鸡，而实际上每一只兔子是比鸡多了2条腿，这24条腿应该就是因为我们把12只兔子看成了鸡，也就是说应该有12只兔子，那鸡就应该有35-12=23只。
我们总结一下上面的推导过程，可以知道“设鸡求兔”的公式为：
兔头数=（总足数-2×总头数）÷（4-2）
鸡头数=总头数-兔头数
我们还可以通过假设全部动物是兔子来求。如果所有的动物都是兔子，那么就应该有4×35=140条腿，比已知多了46条腿，我们也可以很明显看出，这46条腿就是我们把鸡算成了兔子的结果，每一只鸡多算了2条腿，所以，鸡的数量应该是46÷2=23只，兔子的数量为35-23=12只。两种方法得出来的结果完全一样。
我们同样总结一下，“设兔求鸡”的公式为：
鸡头数=（4×总头数-总足数）÷（4-2）
兔头数=总头数-鸡头数
大家注意一下这两组公式，很重要的结论就出来了：
我们如果要求兔的数量，就要把所有的动物假设为鸡来求；如果要求鸡的数量，那就把所有的动物假设是兔子。也就是说，在鸡兔同笼问题中，如果我们要求其中一种东西时，就把所有的东西都当成是另一种东西，这样就能求出它的数量了。
（二）方程法
也许有同学觉得刚才的假设法很复杂，想起来总是在绕圈子，那么我现在来介绍另外一种简单明了的方法——方程法。还是上面那道题，我们再来仔细看一下，题目要求的是鸡和兔子的数量，那我们简单的把鸡的数量写成鸡，兔的数量写成兔，也就是说鸡+兔=35。现在再来看腿的情况，鸡有2条腿，兔有4条腿，那么来算腿的数量，就有2鸡+4兔=94。我们现在把两个方程放到一起：鸡+兔=35，2鸡+4兔=94，这个方程很容易能够解出来，大家可以算一下，得到，鸡有23只，兔有12只。
用方程法来解这类问题，只需要分别假设出这些东西的数量，然后很容易就能列出二元一次方程组来求解。
四、题型精讲
我们现在来看看鸡兔同笼问题中常考的几种情况。
（一）基础题型：已知头数和腿数，求各自的数量
这是最基础的题型，大家可以尝试着分别用以上两种方法来试一下。
例题1：在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？
【答案详解】方法一，利用假设法。假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然要多或少，通过脚数与实际数之差，可以知道造成差的原因，于是知道应有多少只兔或应有多少只鸡。
设鸡求兔：
兔：（130-2×40）÷（4-2）=25
鸡：40-25=15
设兔求鸡：
鸡：（4×40-130）÷（4-2）=15
兔：40-15=25
方法二，利用方程法。设笼子中装有鸡、兔分别为x只、y只，则根据条件可得
x+y=40，2x+4y=130。解得x=15，y=25。
（二）已知头数与腿数之差，求各自的数量
这类问题会告诉你，鸡和兔子一共有多少只，然后告诉你鸡的总腿数比兔多多少，或者少多少，然后让你来求鸡和兔子的数量。大家来看一下这道题，看看应该怎么来做。
例题2：鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28，问鸡与兔各几只？
【答案详解】方法一，假如再补上28÷2=14只鸡，那么鸡与兔脚数就相等，每只兔的脚数是每只鸡的脚数的2倍，则鸡的只数是兔的只数的2倍，所以
兔：（100+14）÷（2+1）=38只，
鸡：100-38=62只；
当然也可以去掉兔28÷4=7只，
兔：（100-7）÷（2+1）+7=38只，
鸡：100-38=62只。
方法二，任意假设一个数。
假设有50只鸡，就有兔100-50=50只。此时脚数之差是4×50-2×50=100，比28多了72，就说明假设的兔数多了、鸡数少了。为保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（注意不是2）。因此要减少的兔数是：
（100-28）÷（4+2）=12只，
兔：50-12=38只。
鸡：50+12=62只。
方法三，方程法。
设鸡有x只、兔有y只，则
x+y=100，4y-2x=28，解得x=62，y=38。
（三）“三者同笼”问题
有时候大家觉得两种动物放在一起还不够复杂，这时候他们会把三种动物放在一起，然后让你们来求。大家来看看下面这道题：
例题3：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共18只，有118条腿和18对翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蝉各几只？
A.5、5、8 B.5、5、7 C.6、7、5 D.7、5、6
【答案详解】这是一道三者同笼的“鸡兔同笼”问题。首先，蜻蜓和蝉都是6条腿，计算腿的数量时将它们作为一个整体考虑，假设全是6条腿的小虫，则可知蜘蛛的数量。
蜘蛛有（118-6×18）÷（8-6）=5只，那么蜻蜓和蝉共有18-5=13只。
再假设这13只都是蝉，则可知蜻蜓的数量。
蜻蜓有（18-1×13）÷（2-1）=5只，蝉有13-5=8只。
大家可以看出来，这类问题实际上还是把三种动物转化成两种动物来求。
鸡兔同笼问题的解法一般只适用于两类不同物体间的关系，而题目中涉及到三类不同的物体时，我们需要找到其中两类物体的共同点，把他们看成一个整体，从而把三类物体间的关系转化为两类物体间的关系。
（四）鸡兔同笼问题变形
大家再来看看这几道题，虽然没有鸡、没有兔子，但是他们还是鸡兔同笼问题。
例题4：有大小两个瓶，大瓶可以装水5千克，小瓶可以装水1千克，现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个？
A．26个B．28个C．30个D．32个
【答案详解】此题属于“鸡兔同笼”问题。利用假设法，假设都是装1千克水的小瓶，则共装水52千克，现在多装了100－52=48千克（即总量的差），因为每差5-1=4千克（即单位量的差）就说明有一个大瓶，那么大瓶共有48÷4=12个，小瓶有52－12=40个，两者相差40－12=28个。
例题5：小明每天必须做家务，做一天可得３元钱，做得特别好时每天可得５元钱，有一个月（３０天）他共得１００元，这个月他有（）天做得特别好。
Ａ．２Ｂ．３Ｃ．５Ｄ．７
【答案详解】假设每天都得3元钱，那么他一个月应得30×3=90元，而实际得到100元，做得特别好时每天可多得5-3=2元，则这个月有（１００-90）÷（５-３）＝５天做得特别好。
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