Woodbury矩阵恒等式又称矩阵求逆引理，由该引理可以证明push-through矩阵恒等式、Sherman-Morrison 定理等，下面给出Woodbury矩阵恒等式的具体形式。
其中，、
、
、
可逆，为了方便，我们设
是
、
是
、
是
、
是
。
下面给出证明：
首先考虑，我们将右乘
,有：
为了和右式的建立联系，我们右乘
，有：
由于可逆，所以：
由于可逆，所以：
为了与Woodbury恒等式的左边相联系，同时发现右边的一项右乘了，自然的想法就是，我们将
配成
，有：
再右乘，就出现了等式右边的那一项：
现在就很显然了，为了匹配右边的那一项，我们肯定要左乘，于是有：
移项即可，有：
证明完毕。
一个简单的记忆和推导方式
只要清楚的逆是
的形式，通过解关于
的方程即可推出Woodbury矩阵恒等式。下面给出某博主的求解思路：
特殊情形
● 当和
是单位阵时，Woodbury矩阵恒等式可以变成：
这个等式可以让我们联想到:
以及push-through等式：
关于这个不等式的证明只需左乘,提取公因式，化简即可。当然Woodbury矩阵恒等式也可以通过这两个等式配凑得到。
● 当和
是单位阵时，Woodbury矩阵恒等式可以变成：
化简可以得到：
证明思路是将右边第二项的凑成
，两边展开化简，即可得到。
推论
● Sherman-Morrison 定理（秩1校正定理）
设可逆，向量
，若
，则秩一校正矩阵为
可逆，其逆矩阵为：
关于这个定理的推广，可见这两篇文章：
● 拟牛顿法，见这位博主写的文章：
