How to get a solution?

我们所做的topic，一般有几个阶段：

Analysis:分析问题，找到问题的关键

Modeling / Formulation:对问题进行数学抽象，建立模型，或者formulate目标函数

Solving:设计出求解的算法

Experiments:实验

最近的工作都集中在Solving这部分，就说说这个吧。

求解的方法

求解问题有很多不同的方法，就我知道的来说，大概有这么几个大家族。

Heuristics。

就是根据对问题的观察而设计的一些简单的方法，不一定遵循什么规范，或者有什么深刻的数学根据。这类方法往往比较简单易懂，intuition比较明显，很多时候performance也挺不错的，不见得比高深的方法差，因而在实际工程中很受欢迎，几乎应用在全部的学科。不过，好像很多朋友对这类方法颇为不屑，认为“没有技术含量”，或者叫做“没有理论深度”。

确实，有相当部分的Heuristics纯粹粗制滥造，投机取巧。不过，还有很多Heuristics虽然简单，但是切中问题要害，在长期的复杂的实际应用中经受住了考验。这些方法，表面看来可能只是再简单不过的几条四则运算公式，说不上多少理论，但是并不代表它没有深刻的理论基础。一个典型的例子是Google PageRank中使用的传导公式（简单版本），道理和公式都很简单，可是，做过类似工作的朋友可能都知道，它和代数图论以及马尔可夫随机过程有着很深的联系。又比如，Fourier Transform在刚出来的时候，仅仅是工程师的一些heuristics，后来关于它的理论已经成为了泛函分析的一个核心组成部分，也是信号处理的理论基础之一。

真正好的heuristics，它的好处肯定不是瞎懵出来，而是有内在原因的。对它们的原理的探索，不断带动理论方面的发展，甚至创造了新的理论方向。说到这里，有人可能会argue，这是“理论家们在故弄玄虚混饭吃”。Hmm，这种说法我不能认同，但是，确实存在“把工程方法胡乱进行理论化”的事实。什么才叫有价值的理论化，而不是故弄玄虚，确实值得思考，这里先不展开了。

Analytical Solution。

当你把问题formulate出来后，有些情况是直接可以从问题推导出解析解的。这种情况通常存在于objective function是Linear或者Quadratic的情况。大家都很喜欢这种情况的出现，理论漂亮，实现简洁。但是，据我的观察，很多情况下，这种elegance是通过减化模型换取的。把cost写成quadratic term，把distribution假设为Gauss，很多时候都能得到这样的结果。

我不反对进行简化，也欣赏漂亮的analytical solution，如果它把问题解决得很好。但是，这里面有个问题，很多能获得简单解析解的问题已经被做过了，剩下的很多难点，未必是一个简化模型能有效解决的。简化是一种很好的方法，但是，使用起来，尤其是在实际中的应用必须慎重，要清楚了解它们可能带来的问题。

比如说，很多模型喜欢使用差的平方来衡量误差大小。但是，这很早就被指出是unrobust的，一个很大的deviation会dominate整个optimization，使得solution严重偏离方向。如果这种robustness在待解决的问题中是一个必须考虑的要素，那么用平方误差就要仔细考虑了。

Numerical Optimization。

如果formulation没有解析解，那么自然的想法就是使用数值方法求解。目前大家常用的是基于Gradient/Hessian之类的local optimization的方法，有时会加上random initialization。如果objective function是convex的，那么这种方法保证收敛到global optimal，这是大家很希望的。convex problem无论在formulation还是在solution的阶段，都是很有学问的。很多问题可以formulate成convex的，但是未必都那么直接，这需要有这方面的基础。Solving一个convex problem有现成的方法，但是，如果能对问题的结构有insightful的观察，可能能利用问题本身的特点大幅度降低求解的复杂度——这往往比直接把问题扔进solver里面等答案更有意义。

除了convex optimization，还有一种数值方法应用非常广泛，叫做coordinate ascend或者alternate optimization。大概的思路是，几个有关的变量，轮流选择某个去优化，暂时固定其它的。在Machine Learning里面非常重要的Expectation-Maximization (EM算法)就属于这个大家族。另外，很多复杂的graphical model采用的variational inference也是属于此类。使用这类方法，有两个问题：一个是如果几个variable之间相互影响，变一个，其他跟着变的话，那么直接使用这种方法可能是错误的，并不能保证收敛。另外一个问题是，如果problem不是convex的话，可能没有任何保证你得到的solution和global solution有联系。很可能，你得到的解和真正的全局最优解相差十万八千里。这个没有什么通用有效的途径来解决。不过，针对具体问题的结构特点，在求解过程中施加一定的引导是有可能的。

Dynamic Programming。

这个方法更多见于经典计算机算法中，不过现在越来越多在Vision和Learning见到它的影子。主要思路是把大问题分解为小问题，总结小问题的solution为大问题的solution。至于如何设计分解和综合的过程，依赖于对问题的观察和分析，并无通用的法则可循。用DP解决问题的洞察力需要逐步的积累。不少经典算法就源自于DP，比如shotest path。一个可能有用的观察是，如果问题或者模型呈现链状、树状、或者有向无环图结构的，可能很有希望能通过DP高效解决。

Local Exchange。

很多建立在图上的问题，都可以通过某种局部交换来达到全局的平衡。像Belief propagation, Junction tree等等在graphical model的重要inference方法，还有tranduction model，都用到了类似的策略。这在实践中被证明为非常有效。但是，并不是随便设计的局部交换过程都是收敛的。这里面需要关注两个问题：

(1)交换过程是不是能保证某些重要的invariance不被破坏；

(2)交换过程中，是不是有一个objective，比如距离全局平衡的deviation，它在每一步都保持单调。有很多交换过程，在有向无环图中保证收敛，但是，在带环图中由于信息的重复传递可能引起不稳定，或者不能收敛到正确的解。

Monte Carlo Sampling。

蒙特卡罗采样的原理非常简单，就是用样本平均，来逼近期望（这个可能需要用intractable的积分完成，没法直接算）。求平均很简单，关键在于采样过程。我们求解问题，通常是在后验分布中采样，这种分布在大部分问题中，不要说直接采样了，可能连解析形式都没法给出。如果采样问题有效解决了，基本上我们研究的大部分问题其实都可以通过采样完成。

由于直接采样往往非常困难，于是就产生了其它的方法，间接做这个事情。一种想法就是，既然p(x)不好直接采，我找一个比较容易采样的q(x)来逼近p(x)，然后给从q(x)采出的每个样本加一个weight，p(x) / q(x)。这在理论上被严格证明是对的——这种方法叫做Importance Sampling。这里的问题在于，如果q(x)和p(x)不太接近，那么采样效率非常低下，如果在一个高维空间，可能采1000年都达不到要求。可是，要得到一个approximate很好的q(x)本身不比直接从p(x)采样来得容易。

还有一种聪明一点的方法，叫sequential importance sampling。在这里面q(x)，不是一蹴而就建立起来的，而是每个样本先采一部分，然后根据那部分，确定下一部分的proposal distribution，继续采，也就是说q(x)和样本都是dynamically built up。这个方法在vision里面一个非常著名的应用是用于tracking，相应发展出来的方法论叫做particle filtering。

另外一大类重要的采样方法，叫Markov Chain Monte Carlo(MCMC)。这个的想法是，设计一个马尔科夫链，让它的平衡分布恰好是p(x)，那么等它平衡时开始采。以前我们做随机过程作业是已知一个markov chain，求equilibrium distribution，设计MCMC就是反过来了。最重要的MCMC方法莫过于Metropolis-Hastings Algorithm和Gibbs Sampling，前者常被用于设计在solution space的随机游走(Random walk)，后者则是conditional sampling的基础方法。

可是Markov过程怎么转移呢。最简单的Random Walk结合acceptance rate之后理论上是对的。可是，让sampler随便乱走，猴年马月才能把solution space走一遍阿。于是，有人提出结合一个solution space的局部信息来引导它往有用的方向走。一个重要的方法叫做Hybric Monte Carlo(HMC)，想法就是把它模拟成一个物理场，把要sample的分布视为波尔兹曼分布后获得物理场的势能，通过哈密顿动力学模型（其实就是牛顿力学的推广）来驱动sampler。可是，如果问题更为复杂呢，比如整个solution space有几个井，sample掉到某一个井可能出不来了。为了解决这个问题，一种重要的方法叫Tempering，就是开始给分子充分加热，让它获得足够的动能能在各个井之间来回跳，然后逐步冷却，从而能捕捉到多个势井。

Monte Carlo方法较早的时候主要用于统计物理，目前已经广泛应用于计算机，生物，化学，地质学，经济学，社会学等等的研究。这是目前所知道的用于求解复杂的真实模型的最有效的方法。它的核心，就是猜——你直接解不出来，只好猜了，呵呵。但是，怎样才能猜得准，则是大有学问——几十年来各个领域关于Monte Carlo研究的工作汗牛充栋，有很多进展，但是还有很长的路要走。

和这里很多留学生一样，我一向潜心于自己的学习和研究。可是最近，我们的世界并不宁静，我认识的不只一个在美国的朋友受到了不太友好的挑衅——在不知不觉中，我们可能已经身处反分裂和支持奥运的前线。我看到包括MIT CSSA在内的很多学生团体开始组织起来支持自己的祖国。我没有具体帮上什么，但是，我对所有在用自己的行动捍卫国家荣誉的同胞怀有最深的敬意。我也希望，我的努力，能让外国的朋友明白中国人是值得尊敬的。

Postscript:

以下是林达华(Dahua Lin)博士的经验。很棒的一个人，想要了解更多的可以点击下面这张图片：

他的个人主页：http://dahua.me/