差分

已知前缀和 S[n], 构造 b[n]

满足条件: S[i] = b1 + b2 + … + b[n]

差分就是前缀和的逆运算

构造 b[n]
理解即可, 没有那么重要, 通过插入操作构造 b[n]

b[1] = a[1]
b[2] = a[2] - a[1]
b[3 ]= a[3] - a[2]
...
b[n] = a[n] - a[n-1]

• b[n]称为 S[n]的差分

• S[n]称为 b[n]的前缀和

差分的用途

对 S数组的某个区间内的数全部加上 c, 现在只需要对 b数组的 2 ~ 4个数加上 c

时间复杂度由 O(n) -> O(1)

一维数组差分

假设已经求出来 b数组, 只要对 b数组求前缀和就可以求出原数组 S[n]

已知 b[n], 可以用 O(n) 的时间得到 S[n]

差分帮助我们处理一种操作, 在 S数组的 [l, r]区间内加上数 c. 则

1. a[l] ~ a[L-1]无影响
2. a[l] ~ a[r] 加上了 c
3. a[r=1] ~ a[n] 无影响

S数组操作后 对于 b数组的影响, 相当于 b[l] + c, b[r + 1] - c

[题目 差分数组]

输入一个长度为n的整数序列。接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

代码

import java.io.*;

public class Main {
    static BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static BufferedWriter log = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    static int N = 100001;          // 数据规模为 10w
    static int[] b = new int[N];    // b数组为 arr数组的差分
    static int[] arr = new int[N];  // arr数组为 b数组的前缀和

    // 对差分数组进行插入操作
    private static void insert(int l, int r, int val) {
        // 可以画图进行理解
        b[l] += val;
        b[r + 1] -= val;
    }

    // 程序入口
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        // 初始化输入数据
        String[] s = reader.readLine().split(" ");
        int n = Integer.parseInt(s[0]);
        int m = Integer.parseInt(s[1]);
        String[] sArr = reader.readLine().split(" ");
        for (int i = 1; i <= n; i++)       // 注意下标为 1
            arr[i] = Integer.parseInt(sArr[i - 1]);

        // 初始化 b数组
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 相当于将 arr中全部看为 0, 则 b[n]中也全部都为 0, 再在其中区间 [i, i] 添加 arr[i], 求出 b[i]
            insert(i, i, arr[i]);
        }

        // m次循环操作
        while (m-- > 0) {
            String[] sIn = reader.readLine().split(" ");
            int l = Integer.parseInt(sIn[0]), r = Integer.parseInt(sIn[1]), val = Integer.parseInt(sIn[2]);
            insert(l, r, val);
        }

        // 求数组 arr插入元素后的值, 相当于求 b[n]的前缀和
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            arr[i] = arr[i - 1] + b[i];
            log.write(arr[i] + " ");
        }

        // 释放资源
        reader.close();
        log.flush();
        log.close();
    }
}