概念
最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
原理
给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。
常见的曲线拟合方法:
1.使偏差绝对值之和最小
2.使偏差绝对值最大的最小
3.使偏差平方和最小
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程
- 设拟合多项式为：
- 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：
- 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：
- 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：
- 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
- 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
- 也就是说XA=Y，那么A = (X'X)-1X'Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。
实现
运行前提
Python运行环境与编辑环境；
Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。
代码
# coding=utf-8
'''
程序:多项式曲线拟合算法
'''
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy
import random
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
#阶数为9阶
order=9
#生成曲线上的各个点
x = numpy.arange(-1,1,0.02)
y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]
#ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')
#,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"
#生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去
i=0
xa=[]
ya=[]
for xx in x:
yy=y[i]
d=float(random.randint(60,140))/100
#ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')
i+=1
xa.append(xx*d)
ya.append(yy*d)
'''for i in range(0,5):
xx=float(random.randint(-100,100))/100
yy=float(random.randint(-60,60))/100
xa.append(xx)
ya.append(yy)'''
ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')
#进行曲线拟合
matA=[]
for i in range(0,order+1):
matA1=[]
for j in range(0,order+1):
tx=0.0
for k in range(0,len(xa)):
dx=1.0
for l in range(0,j+i):
dx=dx*xa[k]
tx+=dx
matA1.append(tx)
matA.append(matA1)
#print(len(xa))
#print(matA[0][0])
matA=numpy.array(matA)
matB=[]
for i in range(0,order+1):
ty=0.0
for k in range(0,len(xa)):
dy=1.0
for l in range(0,i):
dy=dy*xa[k]
ty+=ya[k]*dy
matB.append(ty)
matB=numpy.array(matB)
matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)
#画出拟合后的曲线
#print(matAA)
xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
yya=[]
for i in range(0,len(xxa)):
yy=0.0
for j in range(0,order+1):
dy=1.0
for k in range(0,j):
dy*=xxa[i]
dy*=matAA[j]
yy+=dy
yya.append(yy)
ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')
ax.legend()
plt.show()
