要不要点紧呐
20天没发文章了，罪过罪过。
深夜了，就简单写一下今天了解到的一点关于Linear Regression的内容。
什么是Linear Regression，具体怎么Regression，什么θ0 + θ1x1 + θ2x2，什么梯度下降的，（包括下图中1/m∑(...)x是怎么来的）没什么意思，就不再赘述。
稍微需要注意的是下图中所示的 θ是如何在训练中被更新的，也就是梯度下降的具体公式。
看上去每一个 θ的更新方式都相同，只有细微的差别，具体是在求1/2m∑(...)2这个式子对不同的 θ进行偏导时的不同，对哪个 θ求偏导，那个 θ的系数就会留下来，会微积分的同学们都应该明白。
而在实际情况中，训练集中的各种特征的特征值范围一般是不同的，例如预测房屋价格中，房屋面积的值的范围可能在1到1000，房屋年龄却仅仅是1到10，这样会造成什么样的情况呢，见下图。
绘图水平有限，但是意思到位了，在上述房价预测的例子中有两个特征，取值范围相差很远，可以想象，在θ与这2个特征运算的过程中，房屋面积所占的比重远远大于范围只有1到10的房屋年龄。换句话说，假设初始的θ为1左右，乘以1000的影响远远大于乘以10的影响。如上图，横纵坐标为两个特征对应的两个θ，图像为房价预测模型的cost function。图中红线表示出梯度下降进度，可想而知，这样情况下的梯度下降，进度很慢。因此这里引出一个叫做Feature Scaling的方法—— 特征缩放， 简单来说就是把输入减去所有输入的平均值 ，除以输入值的范围。从而将不同特征的不同输入值，全都框在一个差不多的范围之中。
例如上述1到10的房屋年龄，如果所有值的平均为7年，则将所有的房屋年龄减7，再除以房屋年龄的范围，1到10年，则为(10 - 1)。最后的结果是，(x - 7 )/ (10 - 1) 。
接下来，还是有关梯度下降，在正常情况下，cost function的值在每轮迭代都会下降。也就是说如果某一轮或某几轮或断断续续地总是上升，就说明训练一定是出了问题。
看下边图中左边的两个平面直角坐标系，都是cost function上升或升降夹杂的情况，再看右边的那个坐标系，从右下角的红点开始进行梯度下降，可是迈的步子太大，一步走了很远，不仅没有下降反而上升了，这样一步一步的，反而越训练cost function的值越大。所以怎么办呢，当然是把步子迈小一点。因此我们把learning rate改小。
而大家也知道，步子太小，走得就很慢，所以找一个合适的learning rate也是很必要的事情。这需要在实践中得到经验。我认为，先要找一个可以正常梯度下降的最大的learning rate，这样首先可以保证梯度可以正常地下降，其次训练速度也不会慢；但是这样意味着无法接近到cost function的最小值。在此时梯度逐渐收敛时，减小learning rate，继续训练，然后收敛，然后减小learning rate...循环往复。最终会接近cost function的最小值（同学们，我这加粗部分说的对不对，你们关于学习率的经验请分享一下吧）
吴恩达也介绍了相关经验，他是从0.001，0.003，0.01，0.03，...，0.3，1这样3倍一提升来寻找learning rate，可以作为实战中的参考。
慢着，等等，此时我好像反应过来一些什么，求cost function的最小值？最小值怎么求，不应该是一阶导等于0吗？让一阶导等于0的θ不就是我们想要的θ吗，还辛苦的梯度下降干啥。
确实，这种方式可以求出来我们要的θ，并且连求一阶导的功夫都省了，下边公式可以直接求出来θ。他叫做Normal Equation（标准方程）。
（其中X是第一列为1，从第2列起为所有特征值组成的矩阵，就是θ0x0 + θ1x1 + θ2x2中[x0，x1，x2]这样的矩阵，x0为全1，Y是label组成的矩阵）
并且这样求θ都不用上边讲的Feature Scaling呢。
这东西这么好还用梯度下降干啥呢？它真的就是最好的吗，请看下表：
从第3行的时间复杂度我们可以看出一些端倪。在n不大的时候，用上边的公式确实不错。当n也就是特征的数量很大的时候，Normal Equation的n3的“威力”就会显现出来了。速度慢。
In practice, when n exceeds 10,000 it might be a good time to go from a normal solution to an iterative process.
然而学过线性代数的同学们都知道，并不是任何一个矩阵都是可逆的，如果一个矩阵不可逆，Normal Equation的逆矩阵就没法求，这个方法也就不能用了。虽然说计算是可以用捷径计算出来的，见下边英文...（注：octave类似matlab）
When implementing the normal equation in octave we want to use the 'pinv' function rather than 'inv.' The 'pinv' function will give you a value of θ even if XTX is not invertible.
就是说在octave里编程计算时，用pinv函数代替inv函数求逆，就算是不可逆矩阵，也能求出来。但是是伪逆。
对于无法求逆的矩阵，一般来说有以下办法：
虽然说学过线性代数，大部分其实也还给了老师，什么有逆矩阵的充要条件啊，谁还记得。但是自己想一想，也能有个八九不离十。例如我的数据集中存在如下两种特征，平方米面积，平方英尺面积。这两个分明就是可以进行换算的，远看是两个特征，近看还是两个特征，实际上是同一个特征的情况。这种情况是不是就对应着矩阵中存在线性相关？所以说解决办法也很简单，删除其中一个特征就好了。
还有一种情况，特征数量多，多于训练样本数量。同学们想想，我用10条样本拟合出100个特征，这可能吗？所以还是删除一些作用不大的特征吧。我记得在之前哪篇文章里讲过筛选特征来着？那个信息增益？
好了，太晚了，睡了。
最后，文章首尾呼应，强烈推荐一部网剧，《河神》
参考资料：吴恩达机器学习
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部分图片来自网络，部分本人绘制
