形<->音——和声与数字

形或古希腊人所说的“idea”,有多种含义,比如:形状,这是和视觉有关的,比如风格、分类,这当然可以是和视觉有关的,但比如音乐也可以有风格,写作也可以有风格,这就是和声音有关的了。

和视觉有关的“形”是直观的,我们无须论证,纠结于如何用语言表达,仅凭图形,或者是静态的,或者是想象中动态的,直接给出结果。对形的研究会导向几何学,几何本身是视觉的,而视觉是偏好静的,偏好不动的,但一加“学”,几何“学”就是个动的过程了。

我们如何学呢?或者演示,用圆规和直尺,或者像毕达哥拉斯那样拿根木棍面对沙土。世界是一步一步地被展现出来的,一笔一划本身就是个动态的过程。我们努力说:首先如何,其次如何,然后,又然后……

这本身是个动态的过程,所谓动态就是次序,我们首先只关注首先要解决的,其次,带着对刚刚过去的对首先的记忆,来探讨紧邻首先要解决的问题,我们的思想没法分叉,这就好像我们的视觉,当我们的视觉遭遇挑战,看不清某物的时候,我们凝眼观瞧,把视线使劲聚焦于某物,凝眼就是凝神,不受诱惑地专注于某物。

这个结构很像自然数:“0,1,2,3,……”,一步一步地展示给你看,我是如何用直尺和圆规作图的,这种线性展开的结构就是时间,“学”的过程,对学的人是学,在Challenge,对展示的人来说是在“证”,在说服,这个过程是世界次第展开的过程,是叙事,是Chronicle。

“学”依赖语言,语言是一种声音现象。

据说人能够发出一个八度再加一个四度的声音。

古代世界,天和地很近,音乐和人也很近。孔子闻韶乐“三月不知肉味”,这种沉浸在声音里的境界和我们今天听流行音乐,把音乐当做一种背景噪音,同时抑制住我们心的背景噪音,是完全不同的两种声音技术。

古代的音乐,古希腊的或古中国的,都很简单。简单到也许就是敲击单音音叉发出的声音,单音音叉是校音用的,在古代就是古中国的黄钟律管或古希腊的单弦(Monochord)。

它们发出很纯的音,基本上就是一个频率。孔子一生关心礼,礼与乐相联,乐就是音及音的混杂与排列。我们用音高,频率,响度,音色等来描述声音。音高就是频率,是描述“音”诸参数中最重要的一个量。

人天生就是一个感知音高的灵敏动物,音高激越,使人振奋,低音呜咽,让人伤感。简单的音乐庄重,使人入静,而复杂变化的音乐也如一场“视觉的盛宴”一样使我们好奇和沉迷。

听觉和视觉一样,是感官,同时也是思维,它们接受信息,同时也处理、歪曲信息以为我们人所用。古代的政治传统,古代的教育家都注重音乐教育,这其中最重要的就是对音乐体系的保留和传承。

我们唱歌的时候都要先定调,调可以定低点,显得庄重,也可以定高点,显得轻快。定好调后,一系列的声音次第展开,它们的相对音高保持一个固定的法则,比如:

“低,低低,高,高高,低,中中,……”

在给定乐谱的前提下。基准音高的选取,或所谓定调是任意的。我们可以定高点,无非大家唱不上去而已。但因为有人唱不上去,这个定调就也不是完全主观任意的了。

古代政治秩序大多由推崇勇猛进取精神的战士集团建立,对战士共同体而言,最重要的是要保持这种勇猛进取的精神,能够保持这种精神的音乐会与特定音高有关,这是人群的共同经验。

保持这种对声音的共同经验在古代政治传统中是非常重要的,其中之一就是确定音调,或基准音的频率,然后在此基础上再给出其他音的定义,其他音是相对于基准音而言的,可以更高,也可以更低,排成一个阶梯状的结构。

这里要再次强调我的观点,原子的“idea”其实是无所不在的,这里由人的听觉经验,我们再次得到了原子的概念,即存在着“音高”的原子,进一步细分不同音高的原子是多余的,因为在我们的音乐游戏中,现有的规则是够用的。

保存音乐制度最简单的方法就是造一套标准的乐器,然后后人反复向这些标准的乐器学习,第一套自然是由伟大的立法家们“铸造”的了。礼乐制度大多会和乐器有关,并要详细规定乐器是如何制作的,就是这个道理,否则音变了,就会动摇统治的基础。

考虑到弦乐器与弦绷紧的程度有关,受湿度、温度影响较大,青铜器制造的发音器会是理想的选择,这是为什么“钟”会成为“政权”符号的原因,塔可夫斯基电影《安德烈·卢布廖夫》记述的是俄罗斯帝国创旦的基础,在影片的结尾就出现了工匠之子铸钟的奇迹。

钟是要发音的,音高是有标准的,音高,高一些,低一些,很微妙,但人的耳朵,或某些人的耳朵天生就是辨别音高的灵敏仪器。只有能发出特定音高的钟才是可以被接受的,否则就要被杀头,这不是残忍,这是观念,一只发音不准的钟在敲响的时候不嘹亮,不能激发人民激越的精神,这样的政治秩序是不会长久的。

这里有个似是而非但很有趣的讨论,人有时间感,但人的时间感是非常内在的,几乎不存在什么可以相互交流的基础。这是妨碍人产生运动观念,在科学意义下研究运动的重要原因。但我们知道频率(音高)是时间的倒数,人是辨别频率的精良仪器,同时我们的发音器官,也能够娴熟地对不同音高的声音进行模仿,这是我们具有语言和音乐能力的生物学基础。

类似地,我们还可以讨论位置和速度。人自然能在相当精确的意义下分辨位置,但我们对速度的分辨就要差许多,我们说某物比某物快,其实是置换到位置才下的判断,即两物同时出发,但某物先撞线,所以它更快。这是亚里士多德无法得到满意的落体规律的原因,他受人本身的局限,而在那个时代实验技术又没有充分发展起来。实验技术的充分发展与资本主义的生产方式有关,近代科学于资本主义生产方式同步爆发不是没有道理的。如果回顾二者的历史的话,即科学史和资本主义史,两者讲的是同一个故事,只是叙事的角度,主角发生了变换。

由“造钟”故事,我们得到一个新关系,即:音高是与形有关。

对钟来说这是大大地简单化了,因为材质也很重要,但形状确实决定了钟振动的频率。

这意味着:听音可以定形,定形可以定音。

形就是形式,在毕达哥拉斯和柏拉图的传统里,形是与数紧密相连的。比如钟的形由何而定呢?长、宽、高、是数字,钟的厚度也是数字,但这一堆数字的集合又有什么意义呢?

当我滔滔不绝地罗列一堆数字的时候,这是没有意义的。我们需要给出数字和数字之间的关系,才有意义。而且最好是只要给出一个关系(或最少关系),就能让所有的数字各就各位,找到这样的规律自然是对思维的奖励,是可以向众人夸耀的;同时这也是技术,有了技术我们就能铸钟,以前的人是会铸钟的,但技术失传了,《安德烈·卢布廖夫》中的小孩是因为幸运,绝望中还有神的眷顾,并重新开始,这就是俄罗斯帝国的宿命,卢布廖夫受此感召,重新拿起画笔开始画那些注定会塑造俄罗斯民族性格的那些很平、很抽象的壁画。

画是形(idea),音是声(logos)。形和声都能塑造性格,前提是我们生活在某种生活中,或我们生活在某种历史中。

“几何学”(Geometry)是对形的规定,而“和声学”(Harmonics)是对音的规定。所谓规定就是数字之间的联系,最简单的数字和数字间的联系是“相等”,稍微高级点的是比例,是合乎比例。

比如人脸,人脸上五官的位置和尺寸是需要合乎比例的,这种合乎比例是我们天生可以判断的,但很难说清楚,当然近一二十年随着计算机对数据处理能力的提高,随着神经科学的进步,这类问题有了很多具体技术的进展。但在这里我想强调两点:首先确实比例在这里发挥了作用;其次这个比例也和观念有关,比如古代东夷部族以扁头为美,甚至不惜把小孩的头骨弄扁以合乎比例。这个习俗在今天还有遗存,比如对新生儿,不少地方有端正小孩睡姿以把头睡扁的说法。

我们可以举出很多生活中合乎比例的例子。但我们从来没有试图去发现这中间的数字关系。人类社会尚没有进步到按照数字关系严格定制自己的身形的阶段。

但在音乐中我们很容易发现音高与数字的关系。这是毕达哥拉斯的贡献。音乐的历史一定很古老。在毕达哥拉斯之前人类就有音乐了,不但有音乐还有规定音高的一套体系,即有一套术语来说清楚“不同音高”的音之间的关系。

比如当我发出一个音后,让你发出一个高四度的音,你就能发出这样一个音,并得到我的认同。这套语言游戏能够玩儿的起来。

这些当然都是基于感官经验讲的,本来和数字没啥关系。传说毕达哥拉斯在路过铁匠铺时,受到叮叮当当声音的启发,回去研究各种乐器的音高,比如弦乐。

所谓弦乐器就是一根绷紧的弦,两端固定,中间可以快速振动起来,扰动空气发出声音,弦乐的频率自然就是琴弦发出的声音。这是典型的机械振动的问题,弦上会有波动,但因琴弦两端是固定的,所以波传播不出去,它只能被限制在琴弦上振动,并整体具有一个轮廓,琴弦就在这个轮廓内振动,这种振动叫驻波。

琴弦上的振动是波动,我们仍然可以把它表示为:

$A \cos kx - \omega t$

或:

$A \cos 2\pi \left( \frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T} \right)$

这里机械波传播的速度是:

$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu$

$\lambda$是波动的波长,因为琴弦的两端已经被限制住了,琴弦的长度$L$可以取半波长,一个波长,一个半波长,……,简单说就是半波长的整数倍$\frac{n \lambda}{2}$。这其实就是合乎比例,进一步讲,如果我们考虑一个符合两端被限制住的琴弦的一般运动,这个一般运动总是可以被分解为一系列不同$n$取值的,波长为$\frac{2L}{n}$的振动的叠加。

换成频率的语言,就是$\nu = \frac{n v}{2 L }$的一系列波动的叠加。这里$v$是波动在琴弦传播的速度,这个数字是常数。我们管$n = 1$的音叫做基音,这个频率的声音是最主要的,但弦上也会有$n= 2, 3, ...$的成分,这些音叫做泛音。

拨动长度$L$的琴弦,我们听到的是基因和泛音的混合,最主要的是基因,频率为$\nu_1 = \frac{v}{2L} $,其次是第一个泛音,频率为$\nu_2 = 2 \nu_1$,它们之间是1: 2的关系。

假如我们把琴弦的长度减半,其实就是用手在弦长的一半按住琴弦,此时我们会有新的弦长$L/2$,同时新的基因频率$2 \nu_1$,但此时,因为弦长只剩下一半了,我们拨动琴弦发出的声音里就没有$\nu_1$的成分了。

我们听起来的感觉是这样的,首先$L/2$琴弦发出的音和$L$琴弦发出的音很像,其次$L/2$琴弦发出的音当然要比$L$琴弦发出的音要高,这就好比是一个人沿螺旋形的楼梯升高,每个台阶都对应一个特定音高的音,在螺旋式升高了几个音之后我们又回到了起始位置,只是高了一些,我们还可以继续螺旋升高,每提升一个台阶都会感觉和曾经的一个台阶很像,只是更高了。

在音乐理论里面,我们管这个结构叫“八度”,当音高由$\nu_0$提高一倍到$2 \nu_0$的时候,我们就说“升了八度”。类似地,当音高由$nu_0$降一倍到$\nu_0 /2$时,我们就说“降了八度”。对于人来说我们一般能发出一个八度再加一个四度的音。

毕达哥拉斯研究的就是音和形的关系,并发现这个关系可以被数字很精确地描述。

现在我们就得到了第一个关系,当弦乐器的琴弦长度比是1:2时,频率比是2:1,或用音乐的概念讲是“八度音程”。

八度关系本来就存在于音乐体系中,可以说这是人的日常经验,这种日常经验是内置于人的生物能力中的。现在发现一个八度就是精确的数字比1:2,这个数字比其实是对形的描述,因为弦是一维的,我们对形的描述是比较简单的。

一个日常经验可以对应于一个数字的比例关系是足够让人兴奋的,毕达哥拉斯讲“万物皆数”,其实讲的是万物皆合乎比例,只有合乎比例万物才能存在,只是这些比例有待我们的发现。当然,合乎比例是个很静态的世界观。

除了1:2,毕达哥拉斯还发现当弦长比是2:3时,音的关系是音乐理论中的五度音程。而弦长比是3:4时是音乐理论中的四度音程。

据说毕达哥拉斯就发现了这几个关系。它足够优美,但显然不够解释音乐体系中的所有音高。但这已经足够他嘚瑟的了。更重要的是他开辟了一个用数字、用比例关系去研究音乐的方法,进而是研究整个宇宙万物的方法,可以说今天的理论物理学家都是毕达哥拉斯的信徒。

毕达哥拉斯方案的缺陷是他被简单数字迷住了,1:2,2:3,3:4确实解释了八度音程、五度音程、和四度音程。但再要想把人对声音的感官经验,极其灵敏的感官经验和简单数字比建立联系就是不可能的了。

根据近代的十二平均律,我们在八度音程里面做12均分,这个均分是合乎比例地分(作为人,我们当然是凭我们的耳朵来分的,这里我们必须赞叹人听觉器官的精密),我们要找到某个合适的比例因子$q$,使得:

$1 \nu_0$,$q \nu_0$,$q^2 \nu_0$,……$q^{12} \nu_0 =2 \nu_0$

这里难的是对2开12次方,2开2次方就已经是无理数了,即2开二次方就已经没办法表示成一个简单数字的比例了!这是毕达哥拉斯方案失败的原因。

我们解出:$q \approx 1.059463 $,以此制表:

\begin{table}[htdp]
\caption{十二平均律}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
n & $q^n$\
\hline
0 & 1 \
1& 1.059463 \
2 & 1.122462 \
3 & 1.189206 \
4 & 1.25992 \
5 & 1.33484 \
6 & 1.414213 \
7 & 1.49831 \
8 & 1.5874 \
9 & 1.6818 \
10 & 1.7818 \
11 & 1.8877 \
12 & 2 \
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{default}
\end{table}%

四度音程对应的弦长比是3:4,计算出来的频率比是:$\frac{4}{3} = 1.33333$,对应十二平均律表格中是$n = 5$的情形,$1.33484$和$1.33333$相当接近。

五度音程对应的弦长比是3:2,频率比是:$\frac{2}{3} = 1.5$,对应十二平均律是$n=7$,$1.49831$和$1.5$也很接近。

~

音乐与舞蹈相联系,古人总是载歌载舞,而载歌载舞是对“天”,对想象中“绝对秩序”的模仿,通过模仿来表达对“天”和人格化的“天”——神的亲近和虔敬。

根据古人的观念,天是天球,有几重天球,离地球最远的是恒星天,它们构成了一个背景,一个不动的背景。还有行星,金木水火土,太阳和月亮,它们相对于不动的背景穿行。每个行星都有自己的天球,以自己独特的方式运动。

天体运行的很慢,在没有灯光污染的古代,天体运行是很合适的研究对象,对恒星而言就是绘制星表,把所有可见的,相对而言都不运动的那些恒星的方位表达出来,所谓方位就是方向,所有恒星离我们是一样远的,它们居于最外层的天球。在此之外是什么都没有的,我们也就无需费神讨论了,这些说词很类似今天宇宙学里的说法,因为今天宇宙的图像也是有限的。

在这种叙述下,每个恒星对应一个倾角和一个方位角,我们需要某种制图技术把天球上的恒星投影到平面上,这种制图技术和制作世界地图的技术没有什么区别。我们得到的星图,简单说就是星座。

恒星天以下还有土星天球,木星天球,火星天球,太阳天球,金星天球,水星天球和月亮天球。这是按照由外到内的次序,月亮天球离我们最近,月亮之下就是凡俗世界了,万物变化不定,没有规律。但自月亮天球及以上就是神圣的所在,天球庄严地运转,超脱于朽坏和变化,被神圣的数学描述。

数字关系是不朽的,诸天也是不朽的,研究天体运行是研究数学,即像毕达哥拉斯在音乐中曾经找到的那样,找到简单的比例,天球的运行需要合乎比例,并作为一个整体和谐地存在,所谓和谐就是和声(Harmonics)。

这是“万物皆数”理念在天球运行领域内的运用,古希腊的哲学家们已经能够计算太阳的大小,月球的大小,太阳和地球的距离,以及月亮到地球的距离,各个行星运转的周期等等。

诸天各有各的半径,这是宇宙的形,而诸天各以不同的速度运转将会发出声音,速度越快音高就越高,月音低沉,土星离地球最远,运行最快因此也是最激昂的。

传说乐器是阿波罗神给人的礼物,它是理性的象征,乐器因形的合乎比例而发出和谐的声音,和谐的声音使人的心灵柔和、敏感,function well成为一架理性的机器。

宇宙是造物主理性的设计(据柏拉图《蒂迈欧篇》),在比喻的意义下,我们把宇宙的整体想象为一把里拉琴,诸天对应不同弦长,我们无法想象这天体的音乐是不合乎比例的,虽然我们谁都没有听过天体的音乐(天籁之声),但诸天发出的音乐,有的如男低音,有的如男高音,又有的如女低音,有的如女高音。并整体符合某种比例,某种和谐关系。就好像毕达哥拉斯发现的弦乐中的1:2:3:4。

这里整体和谐的思想是首要的,它或者体现为音乐之悦耳清晰(孔子一定是沉浸在这种乐音之中,才会说出“三月不知肉味”这样的话),或者干脆就体现为一种数学关系的简单和优美(比如1:2:3:4),人对音乐的欣赏和想象是可以闭上眼睛的,任随自己的思绪伴随着音乐的节奏奔跑,这就摆脱了日常经验对思维的限制,成为一种纯内在的,只与不朽的形式相关的理性思维。

西塞罗在《国家篇》中让西庇阿梦见自己身处宇宙之中,

“由各个天体自身的运动和冲击产生出声音,这种声音是那些按恰当比率严格区别开来的各个不相等的音程划分出来的;它由高音和低音混合而成,将各种不同的和音造成统一的音程;……在处于最高点的星天(恒星天)历程上,那里的运动无比地迅速,就发生尖锐的快速的声音;而月球的历程(那是最低的)则以厚重的声音运动着;”

我们谁都没有听到过天体发出的音乐,西塞罗说这是因为我们从小听习惯了,反而听不见了。毕达哥拉斯的说法更高明,他说除了他自己谁也听不见天体的音乐,毕达哥拉斯说:

“他既不创作也不演奏任何人类演奏的那种竖琴或歌的旋律,而只使用一种神秘的、莫测高深的神圣方法,全神贯注于他的听觉和心灵,使他自己沉浸在流动的宇宙谐音之中。……只有他才能听到并理解这种谐音,以及由这些天体激发起来的和声。”

毕达哥拉斯的高明之处在于点明依靠感官——耳朵——是听不见“天体音乐”的,他需要的(但这次没有明说)是数学,是合乎比例。柏拉图在《理想国》中的嘲笑仰望星空者是观星迷,并摆明自己研究天文学的方法是几何学。研究天文学也并非是简单地应用数学-几何学,按照柏拉图的说法,研究是要发现理念,现象被理念(光)照亮,新的理念就是新的形式,就是新的类。换言之就是要发现具有表现力的新的数学-几何学,或数学-几何学的新的应用对象。

西庇阿之梦也是西方艺术中的常见母题,往前自然是毕达哥拉斯的天体音乐和柏拉图的“厄尔神话”,往后则是比如库布里克的《2001太空漫游》,在影片开始的时候,节奏非常缓慢,人(猿)生活在自然中,直到他们凭视觉洞见了一个抽象的几何形体,这是对“数学-几何学”的符号化表达,在“数学-几何学”光芒的照耀下,镜头一转人类就进入了太空时代。这就是理性的力量,但首先你需要像那只人(猿)一样被理想的几何打动,为之着迷,这就像毕达哥拉斯发现1:2:3:4可以解释音程一样,瞬间被理性的力量击中并宣称“万物皆数”!

而当影片即将结束的时候,我们看到类似西庇阿之梦的梦境,变换的色彩,抽象的几何形体,流动冲撞,这其实是对天体音乐的视觉再现。而随之进入的是更为具象的人类生活,所有美好或可以激发起美好与和谐感觉的画面,西方历史中值得尊敬和记录的种种视觉切片,向伟大的西方文明致敬,从毕达哥拉斯和柏拉图始到太空时代终,影片推出的1968年正是人类进军太空的英雄时代,一年后的1969年人类首次登月成功。(与此同时,在影片中我们听到的是《蓝色多瑙河》。)

~

开普勒是位承前启后的人物,一方面他像托勒密、西塞罗一样醉心于天体音乐的概念,希望能够发现宇宙整体和谐的规律,另一方面他关于行星运动的三个定律直接导致了牛顿的经典力学,在牛顿的体系里万有引力$F = G M m /r^2$和牛顿运动定律$F = ma$取代了整体和谐,微分和积分取代了数字之间的合乎比例,运动的轨迹取代了静止的天球。

从托勒密到开普勒都研究过天体的音乐。托勒密是古代天文学的集大成者,托勒密天文学的核心是匀速圆周运动,他把行星的运动分解为数个匀速圆周运动的叠加,并很好地与当时的天文学观测数据相对应。这是一种描述性的理论,表面看起来简单,但进入细节后就会觉得很繁复。即便是今天,我们也很难凭脑子去想哪怕是几个匀速圆周运动的叠加。

从整体和谐的观念出发,就需要找到更简单清晰的数学规律,具体说就是某种比例关系。开普勒的出发点和毕达哥拉斯很类似,都是整数。在开普勒的年代,哥白尼的体系已经逐渐为人们接受,太阳不再是行星,地球取代了它的位置,已知行星按距离太阳由近到远排列是:水星、金星、地球、火星、木星和土星。它们的轨道半径比是:

8:15:20:30:115:195

为什么太阳有6颗行星,不多不少正好6颗,而它们的半径比又正好是以上的整数比。在今天看来开普勒的问题是完全没有意义的,因为根据万有引力定律,行星实际上可以出现在距离太阳的任何距离上,而今天已知的大小行星的数目也远远超出6颗。换句话说,开普勒的问题只有放到“整体和谐”观念下才有意义。

柏拉图在《蒂迈欧篇》中曾用四种正多面体与“水气土火”四种元素对应,但实际上有五种正多面体,这让人感到很不完美。现在开普勒把五种正多面体与行星所在的天球对应,具体过程是这样的:

水星天球在最里面;在水星(1)天球之外构造一个正8面体,使之与水星天球相切,在正8面体外再构造一个外接球,这个球就是金星天球(2);在金星天球外构造一个正20面体,地球天球(3)就在这个正20面体的外接球上;在地球天球外构造一个正12面体,火星天球(4)就位于这个正12面体的外接球上;在火星天球外构造一个正4面体,木星天球(5)就位于这个正四面体的外接球上;最后在木星天球外构造一个正立方体,土星天球(6)就位于这个正立方体的外接球上。

这样我们就用五种正多面体,得到了6个行星天球,而我们可以根据立体几何严格地证明只有5种正多面体,我们现在不多不少各用一次,使之外接内切得到了正好6个行星天球,而在当时人的知识里,太阳只有只有6颗行星,不多不少6个天球,每个天球上镶嵌上1颗行星。

更加令人赞叹的是,根据开普勒的天球套天球模型,我们能精确地计算出6个天球的半径比,它们正好是:

8:15:20:30:115:195

误差有,但不大。

这个结果太完美了,可谓是毕达哥拉斯“万物皆数”纲领下的巅峰之作。日后开普勒虽然有更为人称道的行星运动三定律,但他本人仍然最钟爱这个“整体和谐”观念下的理论。

~

开普勒的这个“古典理论”并没有受到当时学术圈的重视,但他树立了他作为优秀数学家的名誉。第谷·布拉赫当时最了不起的实验家主动寻求和他的友谊,与他的合作。

第谷积累了当时最丰富的对行星观测的资料(也有恒星的),但仅仅是观测就已经耗费了他一生的精力,现在他死了,把资料留给一位优秀的数学家——开普勒——期待他能有所发现,给他带来名声。

第谷的观测数据中尤其以火星的数据,特别详尽,但当开普勒试图用哥白尼的体系对这些数据进行处理时,比如假设一个匀速圆周的轨道围绕太阳运动,理论计算和第谷的实验数据差别较大。本来这个差距可以通过假设更复杂的圆周运动体系来处理的,即假设火星同时参与几个匀速圆周运动,这是托勒密和哥白尼体系中都允许的技巧。

这么做带来的是概念上的简单,即只使用更容易让人理解的匀速圆周运动来模仿行星的运动,但从技术的角度,当面对越来越精确的观测数据的时候就会显得太繁琐。开普勒开始尝试更多曲线来模仿行星的运动,而不仅仅是限于匀速圆周运动,这可以解释为开普勒作为优秀数学家的思维倾向。

开普勒关于行星运动的第一个定律说:行星按椭圆轨道围绕太阳运动,太阳在椭圆的一个焦点上。

这仍然是一种静态的观点,因为它并不涉及快慢。

开普勒关于行星运动的第二个定律说:行星在离太阳最近的时候运动速度最快,离太阳最远的时候运动速度最慢。并且可以表示为一个比例关系:

$r v = R V$

这里$r$表示行星离太阳最近时候的距离,$v$表示此时行星运动的速度;而$R$表示行星离太阳最远时候的距离,$V$表示此时行星运动的速度。

这里有快慢,但仍然采取“合乎比例”这一静态观点下的语言(和杠杆定律采用的是相同的语言)。如果不看$v$,而看角动量(定义为$J = r \times p$)的话,角动量是不随时间变化的。

开普勒关于行星运动的第三个定律说:行星做轨道运动半径——严格说应该是行星离太阳最近距离加行星离太阳最远距离之和的一半——的立方与行星做轨道运动周期的平方之比是个常数。

即:$\frac{R3}{T2} $是个常数。

这其实也是在讲运动要合乎比例,只是这个比例更复杂,涉及了立方和平方,但考虑到它对所有的行星都适用,这是个强大的、令人耳目一新的定律。

如此优美普适比例关系的背后一定存在着个解释,就好像毕达哥拉斯的“1:2:3:4”关系的背后是关于琴弦振动的理论。

~

开普勒定律的背后是牛顿的经典力学。我们现在来勾勒其轮廓:

1.物体不受外力,物体将保持匀速直线运动或静止状态。

2.物体运动状态的改变正比于物体所受的外力之和,反比于物体本身的质量。

即:$F = ma$,物体运动状态的改变这里就是物体的加速度$a = \frac{d v}{d t}$

质量被定义为物体维持物体原先运动状态难易程度的量度。

3.两个具有质量的物体之间会有万有引力,万有引力正比于两个物体质量的乘积,同时反比于两物体间距离的平方。

$F = \frac{G M m}{r^2}$

假设A、B两个物体之间存在着引力相互作用,A给B多大的力,B就给A多大的力,只是方向反了。

仔细读的话,这里有两种定义质量的方式,一种是通过运动定义的,物体保持原运动状态的难易程度,这个叫惯性质量,另一种是通过引力定义的,叫做引力质量。我们假设引力质量和惯性质量是相同的,这里并没有太多道理可讲,或者看做是实验(比如落体实验)的结果,或者干脆讲就是个假设,一个迄今不会给理论带来麻烦的假设,不但不会带来麻烦,还会带来好处,比如它是研究广义相对论的出发点。

牛顿的体系和古典的“天球音乐”模型相比差距很大。在牛顿的体系里力是核心概念,力驱动行星运动,相比于太阳,行星很小,我们可进一步把行星抽象为具有质量的点,它在万有引力的驱动下沿椭圆轨道运动。我们要想了解行星的运动,需要发展求解微分方程的技巧,即如何求解

$F=ma$

这是一个关于位置$x$的二阶微分方程,从数学的角度,这当然要比列等式,加减乘除、乘方、开方要难。并且这里真正具有运动的概念了,或者说变化,时时刻刻的变化是个逃不掉的概念。

这甚至可以从对速度的定义看出:

$v = \frac{d x }{d t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$

如果仅仅把速度定义为

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{ x(t_2) - x(t_1) }{ t_2 - t_1 }$

这还是一个静态的图像,即我们在时刻$t_2$和时刻$t_1$各拍摄一张快照,分别凝神观瞧,用尺子做测量,然后带进公式里计算。

我们怎么说这个速度$v$才不过分?它不属于$t_2$,也不属于$t_1$,它是$t_1$到$t_2$之间的平均效果。

那我们还能说时刻$t$时的速度$v(t)$吗?如果不能加速度$a$的定义就成了空中楼阁。在牛顿的体系里,速度必须对每一个点都有意义,但如果我们把眼光只聚焦在一点上是不可能有速度的,速度是变化,对一个点怎么能说变化呢?此时我们考虑的是一个点,但这一点的近邻也必须考虑,否则就不会有变化,不会有速度。

记号:$\lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{ x(t + \Delta t) - x(t) }{\Delta t}$

表示的是一系列的操作,我们先测$\Delta t = 1$秒,然后0.1秒,0.01秒,0.001秒……

如此构造出一个无穷的序列,就像我们曾经讨论过的0,1,2,3……,这是一个用自然数标记的序列,它是可数的(countable),但无限延伸,没头儿。从技术的角度,我们会发现这个序列往往会很快收敛在某个稳定值上,这个就叫极限,某时刻t的速度$v(t)$因此就有了定义,它是在极限下得到定义的,这个极限可能存在,可能不存在,但我们物理上只讨论那些极限存在的情况。所谓微积分就是要发展出一套这么做的技巧,更重要的是逻辑体系,把它说严谨,用公理、定义和定律的体系。

现在我们就有了经典力学。

经典力学里就一条不太让我们放心,这里面似乎只有引力,而引力是个太弱的力。两个人面对面站着,吹口气的力都比他们之间的引力大。

在我们的生活中,除重力外,其他力基本上都不是引力,比如弹簧的弹性回复力,比如我们俩亲切地抱着的压力,比如摩擦力……

这些力的来源是电磁相互作用。

~

电现象、磁现象和光现象都是人类很早就发现并研究的现象。其规律被麦克斯韦总结成一组非常优美也抽象的数学公式(麦克斯韦方程组):

\begin{eqnarray}
\nabla \cdot E & = & \frac{\rho}{ \epsilon_0}\
\nabla \cdot B & = & 0 \
\nabla \times E & = & - \frac{\partial B}{\partial t} \
\nabla \times B & = & \mu_0 j + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}
\end{eqnarray}

这里第一个式子说的事情和引力很类似,写成力的形式:

$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

即两个电荷之间的力与电量的乘积成正比,与两个电荷之间距离的平方成反比。

这个结果和万有引力几乎是一模一样的,有两点不同:(1)我们这里讨论的静电力(也叫库仑力)比引力要强的多;(2)有两种电荷,相同电荷是斥力,而相异电荷是引力。

第二个式子说的是,在自然界中不存在磁单极子,但物理学家早就准备好了一套磁单极子存在的理论了,只等哪天找到它,就在方程的右侧加上一项。

第三个式子和第四个式子说的是变化的磁场也会感生电场,而变化的电场会感生磁场;前者是发电机的原理,而后者是电磁铁的原理。它们在一起可以解释电磁波或光波的存在。

在电磁学的研究中,由于电磁相互作用太强了,力反而不是重点,重点是场,是电场和磁场在时空中的分布和传播。比如对一个电的振子,能量会以电磁波的形式向外辐射,这是必须考虑的物理过程。而对引力,我们就根本不需要考虑引力波。

假设一个质子和一个电子,相距$0.5 \times 10^{-10}$米,这个距离就是氢原子中电子和质子的距离。我们可以先计算他们之间的电磁相互作用,代入计算得:$F_e = 8.25 \times 10^{-8}$,看起来很小,但要看和谁比。现在计算电子和质子之间的万有引力,还是这个间距,代入计算得:$3.63 \times 10^{-47}$,它们的比值是$2.27 \times 10^{39}$,即电磁相互作用要比引力大的多得多。引力对研究原子尺寸的物理问题是完全可以忽略不计的。

现在只考虑电磁相互作用,但问题是电磁场会向外外辐射电磁波,它损失能量的速度太快了。估算的结果是只需要$10^{-11}$秒数量级的时间电子就会掉到质子上,即原子是不稳定的。

这就是经典理论应用到原子现象时碰到的困难。

~

一个成功的原子理论应该能够描述原子物理学中的典型现象,原子是稳定的存在,这当然是其中很重要的一个现象。但除此之外还有更独特地属于原子的现象——光谱现象。

光谱现象分为两类,发射光谱和吸收光谱。

所谓发射光谱就是炙热原子发射的光通过三棱镜分光形成的谱分布,吸收光谱是当热光源发出的光通过冷原子气体时,部分光被原子吸收后形成的谱分布。发射光谱和吸收光谱都是光强相对于波长的分布,我们发现发射光谱中原子发出的特定波长的光,在吸收光谱中也出现,只不过发射变成了吸收。

通俗地说原子就是一个爱戴戒指的人,但她只戴特定尺寸的戒指,戴腻了她就扔,扔掉的戒指的尺寸和她拿来戴的尺寸完全一样。对这个现象的解释倒也简单,因为她有5个手指,每个手指粗细不同,但都有确定的尺寸。

我们有理由猜测光谱与原子的本性有关,实验也确实支持我们的这种想法,每种原子都有不同的光谱,它们的谱线出现在不同波长的位置上,就好像是指纹,人人不同,成为我们的标识。

即便是对最简单原子的光谱,比如氢原子的光谱,乍看起来都是很复杂的,但感觉它们是有规律,或用老话讲,看起来它们是合乎比例的,只是这个比例有待我们的发现。

就好像毕达哥拉斯发现和声学里的1:2:3:4,原子物理早期的突破也来自于人们找到了一个简单、优美的数学式子,这个式子解释了氢原子光谱的谱线位置:

$\frac{1}{\lambda} = \frac{4}{B} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$

这个是巴尔末公式,它解释了氢原子光谱中最显著的几条线,很快被推广为里德堡公式:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2} \right)$

这个公式就解释了氢原子光谱中所有的谱线位置。

原子的稳定性当然是很重要的问题,或说仍然是很重要的问题。但现在首先要解释为什么会有谱线的规律,这个简单的公式强烈地提示我们在氢原子的问题里存在着更为简单清晰的概念体系和数学结构。

某种意义上说,我们从牛顿的经典力学又重新退回了毕达哥拉斯的“天球的音乐”,而天球之所以只奏响这特定的音,是因为整体的和谐,是形的制约,使天球只能发出特定音高的音。

氢原子就是个小天球,它只发射(或吸收)特定波长的光,特定波长的光就是特定频率的光,它也是形制约的结果,形的制约就是几何关系,好比两端固定的弦就是一维振动的形。现在我们需要发现的是氢原子的形。

这里有个概念需要澄清,我们说是说氢原子,但其实这里我们研究的是电子,因为质子比电子质量大太多了,质子运动的速度比电子运动的速度要小很多,或者说质子很难跟得上电子的运动,所以我们这里只需要研究电子的运动就可以了,而质子则作为固定的背景考虑。

现在假设有一个毕达哥拉斯的信徒来研究原子中电子的运动,他会真么说呢?

首先电子仍然会受质子的吸引,这个力是:

$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r^2 }$

假设电子处在某个半径为$r$的正圆轨道上,电子的势能是:

$V(r) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

电子的动能是:

$K = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

电子的总能量是:

$E = K + V = - \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

电子只能在特定的轨道上运动,这就好像毕达哥拉斯派把宇宙想象为一把里拉琴,只允许能奏响整体和谐乐音的位置上可以放置天球,让行星在天球上沿正圆轨道呼啸而过,发出特定频率的声音,行星的速度越快,频率也越高……

现在我们只需要把这幅图像套用过来即可,电子也只能出现在特定半径的轨道上,到底是哪些半径允许,这是有标准的,类似于弦上驻波的整体和谐的标准。

但电子怎么能和波联系起来呢?假如要联系起来又应该怎么联系呢?

硬要往下讲就是假想的历史了。因为玻尔确实不是按这个思路思维的,而物质波概念的提出又在玻尔之后,是受玻尔原子模型的启发。

我们现在要求自己有如神助,假想一个能代表电子和谐运动的波沿着电子的轨道运行,运转一圈正好是波长的整数倍,首尾相接形成圆轨道上的驻波。

$2 \pi r = n \lambda$

我们又想到行星运转越快对应发出的声音就越高,频率$\omega = 2 \pi /T$是时间上的调制,还有波矢$k = 2 \pi / \lambda$,反映的是空间上的调制。

假如我们让电子运行的速度乘以质量(即动量)正比于波矢$k$会有什么结果呢?

假设比例因子$\hbar$,这个比例因子是研究原子尺度物理问题必须出现的。

$p = m v = \hbar k = \hbar \frac{2 \pi }{\lambda}$

因此:$m v r = \hbar \frac{2 \pi r}{\lambda} = \hbar \frac{ n \lambda }{ \lambda} = n \hbar$

即:$mvr = n \hbar $

这就是我们猜测出的对氢原子而言,整体和谐的条件。

电子只能处在由$mvr=n \hbar$(在量子力学里叫角动量量子化)规定的$r$上,$n = 1,2,3,...$,由这一系列$r_n$,我们可以得到一系列的能量$E_n$。

因为整体和谐条件的限制,电子只能占据那一系列轨道,因此能量的取值也是一系列分立的取值,这一系列分立取值的电子能量就叫做能级。

电子离质子越近,电子的能量越低,反之电子离质子越远,电子的能量就越高。但记住,氢原子里只有一个电子,假设这一个电子处在比较高能量的轨道上,它可以向下跃迁,电子的能量将降低,多余的能量将以光子的形式放出,假设较高能级用$n'$标记,较低能级用$n$标记,我们就将得到里德堡公式。

原子的稳定性还是问题吗?在整体和谐的观念下其实已经没有问题了。我们急需澄清的是那个与电子的运动状态相联系的波到底是什么?此刻——玻尔模型的出现——说明替代范式已经出现,与其苦苦执着于老范式,不如发展新范式,而在新范式下,很多老问题是没有意义的,它们被更急迫的问题所替代。

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