林哈德函数（Lindhard Function）

林哈德函数（Lindhard Function）定义为

$\mathcal{L}(\vec q,\omega) = 2 \sum\limits_k \frac{ n_k - n_{k+q} }{ \hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta }$

考虑变换

$\vec k \to - \vec k - \vec q$

$\vec k + \vec q \to - k$

并且

$\omega_{kq } \to - \omega_{kq}$

$n_k \to n_{-k-q} = n_{k+q}$

$n_{k + q} \to n_{-k} = n_k$

这里考虑电子的色散关系是自由的

$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$

对应费米面是球对称的。

在以上变换下，林哈德函数（Lindhard Function）可以改写为

$\mathcal{L}(\vec q,\omega) = - 2 \sum\limits_k \frac{ n_k - n_{k+q} }{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta }$

把这两种表示“拼”在一起

$\mathcal{L}(\vec q,\omega) = \sum\limits_k \left( n_k - n_{k + q} \right) \left\{ \frac{1}{\hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta} - \frac{1}{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta } \right\}$

首先小括号中的部分可恒等变形为

$n_k - n_{k+q} = n_k \left( 1- n_{k+q} \right) - n_{k+q} \left( 1-n_k \right)$

上式中两项分别乘以大括号中的表达式，对其中的第二项考虑变换

$k \to - k -q$

$k + q \to -k$

以及（因为还要乘以大括号中的内容）

$\omega_{kq} \to - \omega_{kq}$

林哈德函数整理后得到

$\mathcal{L}(\vec q,\omega) = 2 \sum\limits_k n_k \left( 1-n_{k+q} \right) \left\{ \frac{1}{\hbar \left( \omega - \omega_{kq} \right) + i \eta} - \frac{1}{ \hbar \left( \omega + \omega_{kq} \right) + i \eta } \right\}$

这个函数是复函数，取其实部

$\Re \mathcal{L}(\vec q,\omega) = \frac{2}{\hbar} \sum\limits_k n_k \left( 1 - n_{k + q} \right) \frac{2 \omega_{kq}}{\omega^2 - \omega_{kq}^2}$

上式中第二项

$...\sum\limits_k n_k n_{k + q} \frac{\omega_{kq}}{\omega^2 - \omega_{kq}^2}$

在变换

$k \to - k - q$

$k+ q \to -k$

$\omega_{kq} = - \omega_{kq}$

中，上式是“奇”函数，因此对波矢k的求和为0。

$\Re \mathcal{L}(\vec q,\omega) = \frac{4}{\hbar} \sum\limits_k n_k \frac{ \omega_{kq}}{ \omega^2 - \omega_{kq}^2}$

Bohm, D. and Pines, D., PR 82, 625 (1951);

The Lindhard Function and the Teaching of Solid State Physics

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