以前从来没有想过这个问题，太有趣了把问题求解过程分析如下：
1、时间最短这个问题数学化后可以归结为求最小值问题。【最速降线】
(1) 一说到求极值，一下就想到有约束条件函数的拉格朗日乘数法。不过这些问题前提都是 “函数本身是唯一存在” 的，求得的结果是使其值最小（大）的自变量的确定值。
(2) 但是本问题是有许多条路线（用函数来描述路线），所以是 “没有一个确定的函数”，而是有多个函数，需要寻找其中哪个函数满足给定条件（用时最少）。这就引出了泛函和其极值求法问题。
2、泛函
函数集合 S 到实数 J 的映射叫做泛函，对于任何y(x),有另一个数J[y]与之对应，可以理解为自变量是函数，因变量是实数的函数。比如曲线的长度,闭合曲线围成的面积等都和曲线的函数是一种泛函关系. 如曲线的长度可以通过 弧长的曲线积分公式来计算出两点间任意平滑曲线的长度，这个积分方程中的自变量y 可以表示不同类型的曲线（如直线、抛物线、对数曲线等，都属于函数集合 S），将不同的自变量 y （函数）应用于弧长积分公式后可以得到一个确定的实数（曲线长度），不同类型曲线在同一个积分区间中唯一实数与之对应，这构成泛函。研究的主要对象是函数构成的函数空间。 一个函数的参数是函数。
$x(实数或复数) ➛ y(函数 ) ➛ J(实数)$ ⋯①
以上就是映射过程
泛函可以想象为函数的复合 $J = f ( y (x) ) $ 。对于不同的函数（曲线、曲面）， f 都是相同的（如积分算子） 。弧长计算公式中
，不同的是 y（作为自变量的函数）。通过什么来求极值呢，需要用到变分。
3、 变分
普通函数中，用微分近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。是对函数局部变化率的一种线性描述（割线斜率）。 参照这个思路，泛函中用 变分 描述函数形状的无穷小变化。$𝛿f(x) = f’(x) -f(x)$ 。具体求极值方法，通过变分法施行。这个过程是构造性的。
4、变分法
变分法最终寻求的是 极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。比如对于两点之间距离，在通过的无穷条曲线中，要找哪一条曲线是让两点间距离最小的方程。通过对弧长积分方程应用变分法后得到的结果（定理）与欧氏几何的公理相同，即两点之间，线段最短，让人感叹几何与分析殊途同归，还有直觉的伟大（想起初二数学徐老师说这个公理时说如果不考虑损害作物，就是XX都晓得直接从田中跨过情景）。
普通函数中，在理想情形下，一函数的极大值及极小值会出现在其 导数 为 0 的地方。泛函中处理极值方法和函数中处理极值用到的的普通微积分相类似。譬如，这样的泛函可以通过对未知函数 f(x) 它的导数 f’(x) 的积分来构造。求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程(必要非充分条件)。对泛函求导并令其为 0. 数学上对于新问题的解决思路许多都从过去的研究方法进行推广，而且有不错的效果。
5、回到小球最快下降问题
通过能量守恒原理建立起时间 T 和路径 s 的关系，s 对于不同形状路线有不同的函数描述，T 形成 s 的泛函，由①式可以得到下式：
(x,y){轨道纵向切面的坐标} ➛ s(x,y; g) {g为参数，在此是重力加速度} ➛ T(实数){时间}
然后 需要 min(T) , 通过变分法得到特定的那个 s 的函数
虽然现在分析起来觉得还可以，但是看看历史上这个问题的求解以及由此产生的新的数学分支，感到在未知的探索中真的不容易，看看历史上人们的解决方式真的很有启发。在历史中回望是一件很重要的事情。根据本题的问题，作为一个体育迷和运动爱好者，凭直觉猜到下降最快的路线是高山滑雪赛道类型，颇为高兴。
