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[学习信息的存储（编码）和处理有什么用？]

研究数字在计算机中是如何存储的，以及值的范围和算术属性，有助于我们跨越不同的机器、系统以及编译器获得更好的可移植性。了解这些细节非常重要，程序员有责任和义务编写健壮的程序，了解其内部如何工作，其不良行为背后的原因，对于安全领域也有非常高的价值。

[本章是如何展开的？]

本章首先对计算机是如何存储信息（编码）进行了讨论，中间涉及了二进制、十六进制数据的表示、大小以及如何顺序存储、布尔运算等，然后研究了三种重要的编码方式：无符号、补码（有符号）以及浮点数的编码。

[主要笔记]

一、信息的存储：编码

已字节为最小寻址单元进行数据的存储

单个的位没啥用处，当把位组合在一起（字节8个位），再进行某种解释，赋予不同的含义，我们就能表示世间万物了。每个程序都可以简单的视为一个字节块，程序本身就是一个字节序列。

1.十六进制

由于二进制信息太过冗长，于是在描述位模式的时候不是很方便，就发明了16进制。这里没什么好说的了，如下表：

16进制表示法

❤：学习过计算机的同学对这个内容都不陌生，关于各个进制之间的转换作者让我们记住：A C F对应的十进制，然后推出BDE的值：

记住这三个值

还有一个简单的计算诸如：

可以写成幂次方

可以使用公式：n = i + 4j 其中n = 11 ；i的取值范围是[0-3]对应的值为：0对应1,1对应2,2对应4,3对应8相当于2的i次幂，j就代表多少个0。回到上面的例子中，11 = 3 + 4 X 2 就可以写成0X800  (j=2两个0，i=3对应8)。算是奇技淫巧吧，了解一下就可以了。

对于16进制和10进制的相互转化就无非是反复乘以或者除以16，也没啥好说的了。

2.字

虚拟地址空间是一个非常大的字节数组

我们前面说过虚拟地址空间可以使得我们很方便的范围到每个字节，但是虚拟地址是以一个字来进行编码的，所以字的长度就决定了我们能范围的最大范围。对于我们使用的32位的计算机而言，程序最多范围2的32次方个数据，也就是我们经常所说的4GB

3.数据大小

C语言中的数据类型 字节数

关注数据大小的原因是使得程序对于不同数据类型的大小不敏感，如果我们用一个int类型（4字节）来存一个指针（64位下可能是8字节）就会带来不小的麻烦。

4.寻址和字节顺序

对于跨越多个字节的数据、指令和控制信息，我们必须要知道他的地址是什么，以及是按照什么顺序在计算机中存储的。对于同样的一个数字：1234567；有两种存储方法：

大端法和小端法存储

就数据1234567来说，它跨越了4个字节，从0x100开始到0x103结束，我们除了必须要知道开始的地址0x100外，还有一个重要的就是必须要了解是何种顺序在计算机中存储的。就具体的应用来说，至少有下面三个方面：

①通过网络在不同机器以及系统中传递数据时，必须要遵守建立的字节顺序；

②强制类型转换：不会改变真实指针，只是告诉编译器以新的类型来解释数据；

③阅读表示整数的数据类型时（不是很理解）

5.字符串：文本数据比二进制数据有更强的平台独立性

字符串是以null（0）字符结尾的字符数组，在任何系统上面都能看到相识的结果。但二进制机器码就不一样了：

c语言代码

编译成不同的机器码的结果如下：

不同系统的生成的二进制码

因此：二进制代码是不兼容的，从机器的角度来看，程序仅仅只是字节序列。

6.布尔运算

关于布尔运算的基本的方法与、或、非、异或就不在叙述了。除了判断逻辑以外讲讲有什么用：

掩码运算：举一个例子，我们要用守蒙住脸蛋防止别人看到我们的脸，但是我们又很想看看对方长啥样子，这时候就会留一个缝隙，让眼睛可以往外边看。这基本上就是掩码的功能了。我们有选择的屏蔽了一些信号，如长相。又如：0xFF（1111 1111）任何一个数与上0xFF，就能将最低的8位保留下来。

位运算与逻辑运算的区别：逻辑运算认为非0就是true，而0表示false；逻辑运算如果第一个表达式能确定结果就不会对第二个求值。

移位运算：

两种移动方式

❤ 对于无符号的数，右移动必须是逻辑上的。对于有符号的数，可以是任何一种，但常用的是算术右移动

二、整数的表示（存储）

   本节首先介绍了两种编码方式，一种只能表示非负数（无符号编码），另外一种可以表示负数、0和正数（补码编码），然后讨论了这两组编码的数学属性和机器实现，最后对于一个已知编码的扩展和收缩的方法进行了介绍

C语言支持的数据取值范围：

c语言的整型数据保证的取值范围

我们将介绍这些具体的取值范围是如何得来的，以及之间转换所遵循的规则，不知道大家有没有注意到一点：有符号数的范围并不对称，负数的范围比正数大1？我们接下来的内容会告诉大家原因

1. 无符号数的编码

我们来探究一个公式，完成二进制到无符号数的编码（Binary to Unsigned）我们编号为（2.1）:

Binary to Unsigned

用几个例子和一幅图帮助大家理解：

各位相加求和

这是对w=4位的几个数字的无符号数的编码，很好理解，就是各个位具体的值和每个位的权值相加，用如下的图来表示就更更清楚了：

用长度为2的I次方表示向量x的长度

在无符号的表示中，统一都用的是向右向量来表示，各个位的权长度不一样，最高的是8最低的是1。我们来看看表示的范围是多少：从最小的无符号数[0000]到最大的无符号数[1111]范围就是0-15（最大值为2的w次方-1）。

2.有符号数补码的编码（Binary to Two's-complement）：

补码编码公式

用实际的例子表示为：

最高位为符号位

最高位为符号位，当为0的时候没什么影响，为1的时候加的就是负权了，如下图：

最高位用灰色表示为符号位，向量向左

我们来看看不对称性的根源？

这种对称性是由于一半的位模式（符号位设置为1）表示负数，而另外一半的位模式（符号位设置为0）表示非负数，因为0是非负数，也就意味着能表示的正数比负数要少一个。

同样来讨论一下取值范围，最小的负数TMin为[1000]结果为-8，最大的正数TMax[0111]结果为7，我们看得出来|TMin| = |TMax| + 1，最小的负数TMin没有与之对应的+8，这种不对称的特殊性，正是由于0也是非负数，所以-8就没有与之对应了正数值了。

另外，有符号数还有其他两种表示方法：反码和原码，由于运用的非常少，大多数机器都采用的是补码的方式，我们就不再研究了。

3.有符号与无符号数的转换：

类型转换的结果是保存位值不变，只是改变了解释这些位的方式

从存数学的角度考虑，我们能想到的规则是：首先对于两者之间的交集，我们保持不变；其次，对于超出范围的值，比如将最大的负数（前文中说的-8无对应的情况）转换成无符号可能会得到0，将无符号的数（太大的部分）转换为有符号的数可能会得到TMax，举个例子：

以w=4位为例：有符号数能表示的范围是：[-8--7] 包含两端的-8和7而无符号的表示范围是 ：[0--15] 这样，当我们在[0-7]之间的数的进行转换的时候将保持不变；而在进行诸如：无符号数[8-15]转有符号数的时候就只能用TMax表示；有符号数[1111]=-1转到无符号数就变成了[1111]=15。注意看下面这个图：

12345和-12345的补码表示，以及53191的无符号数表示

-12345同53191有同样的位表示，到这里我们就明白了，在计算机内部的实现方式是：

规则：数值可能会改变，但位的模式不变。

从数学角度来讨论这个规则：

我们定义B2U（）的逆运算为U2B（）；定义B2T（）的逆运算为T2B（）；

那么完成U2T（）的转换就相当于：

等式一：U2T（） = B2T（U2B（））

解释一下就是，先完成无符号到二进制的转换U2B，然后在将二进制转换层有符号数B2T

同样的道理完成T2U（）的转换就相当于：

等式二：T2U（） = B2U（T2B（））

我们先来看看U2T（无符号转有符号）之间的转换公式的推导过程：

假设w=4位

①无符号数B2U计算公式：[1111] = 1 * 8 + 1 * 4 + 1* 2 +1 = 15

②有符号数B2T计算公式：[1111] = -1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 = -1

用①-② 也就是B2U（）-B2T（） 后面的内容1 * 4 + 1 * 2 + 1可以抵消掉，其实就是头两个数之间的差值：

B2U（）- B2T（） =  1 * 8 + 1 * 8 = 1 * （8 + 8）= 1*16  

❤ 也就是1 乘以2的4次方，写成公式为：

有符号数转无符号数：

令x = T2B（x），带入上述公式转换的结果为：

由于B2U(T2B) = T2U;B2T(T2B)=x。所以上面的等式可以写成如下形式：

这个公式由于x的最高位w-1位的属性，又决定了以下两种形式，得到：

w-1位为0的话，值就是x

进一步解释一下就是，以w=4位为例，[0001]-[0111]之间的有符号数转无符号数其值是不变的。如果无符号数[1001]-[1111]之间的数由于最高位有值，那么结果就会加上2的w次方。比如：将-5 = [1011]转换为无符号数就是：11 （-5+16），而-1就变成了15.如下图看到的

符号位为向左的灰色箭头表示

而T2U的一般行为就是，非负数保持不变，而负数就变成了大的正数

负数就变成大的正数

至此我们探究了T2U的转换内幕，以及其行为，下面我们来看看U2T是如何工作的

无符号数转有符号数：

将x = U2B(x)带入标❤公式：我们得到

简单带入变形

我们将上面的等式整合一下，得到了U2T的公式为：

综合公式

根据无符号位w-1时候大于或者等于2的w-1次方，我们将上个公式可以写成下面这种形式：

无符号转有符号数公式

同样的我们以w=4位为例，完成对[0-7]转有符号数的时候，保持本身值不变。而如果是对于≥8的数转换为有符号数，[1001]-[1111]之间的数，由于最高位要解释成符号位，所以结果会减去2的w次方。也就是上述公式所显示的内容，将无符号数[1001]=9转换为有符号数为[1001] = -7 = 9 - 16.

将大于8的数转化为负值

4.C语言中的有符号数与无符号数

C当然没有指定有符号数用什么编码方式，但是各个机器基本上都是使用补码的形式表示。所以，如果要创建一个无符号数常量，那么就必须要申明加入后缀‘U’或者'u'的形式。

特别是类型转换中的隐形转换，笔录表达式赋值给另外的一个变量，就容易被忽略，很难发现错误之处。其实一个为了避免出错，最好的一个做法就是尽量不使用无符号数。

（另外提一下，无符号数有什么用处：当我们想把字仅仅当做位的集合来看，没有任何数字意义的时候，无符号数还是非常有用的。例如：往字中放入描述各种布尔条件的标记时，就形成了地址，而地址当然是能访问的越多越好）

C语言中的转换规则，如果执行一个运算，它的一个运算符是有符号另外一个无符号，那么C就会隐式的件有符号的参数强制类型转换为无符号数，并假设这两个都是非负数来进行计算。这里特别需要注意的就是像＞或者＜结果可能出错。

如比较：-1  < 0U的值时，先将-1转无符号数：4294967295  < 0U 就有问题了。

我们来说说为什么-1转有符号的数会是一个这么大的数，

同样的以w=4位为例：-1 = [1111] 转换为无符号数，由于保持位值不变，只是改变解释那么无符号数[1111] = 15 也就是能表示的最大值，4294957595是采用补码的32位机器所表示的最大无符号数。

5.对数字的位进行扩展与截断的技术

①扩展一个数字的位：

这里在一个程序中应用的特别多，比如将一个short类型的数据转换为int，或者将unsigned short 转为unsigned int 这种数字长度的增加，到底是依据如何的规则进行的转换，大致说来有两种扩展方式：零扩展和符号扩展：

1>（零扩展）无符号转更大数据：在数据的开头位添加0即可

2>（符号扩展）有符号转更大数据：在数据的开头添加最高位的副本

零扩展不用说会保持数值不变，我们来研究一下符号扩展：假设字长从3为变成了4，有补码表示的数[101] = -3 将变成[1101] = -3 即使增加了1位结果任然是一样的，是什么原因保证了这种变化保存了数值的不变呢？我们来探究一下：

从3位增加到4位

这里有一个关键属性就是：就是上图所示的，当我们做最开始的两位的加法的时候，其结果与上一等式的第一个数的值相同。

从3位扩展到4位

前两位的折返与原数相同

用更普遍的观点来看，关键的属性就是：

结果会保留原始的值

另外要提一下，将一个数据大小改变，和无符号有符号之间这两组转换的相对顺序，会影响一个程序的行为。如果将short转为unsigned时，就会先改变大小，然后再完成有符号到无符号的转变。如：short sx = -12345 转为 unsigend的uy时，先将0X CF C7扩展成0X FF FF CF C7然后再进行到无符号数的解释，结果就得到了4294954951这样的一个数字。

②截断一个数字的位：

对于无符号的数：[1111] = 15 截断1位，其实是将15 mod 8（2的3次方） = 7 [111]

对于有符号数：[1101] = -3 的截断，是先将[1101]转为无符号的13然后来mod 8 = 5无符号表示就是[101]，然后再把[101]解释成有符号数[101] = -3  

6.注意事项：

1> 尽量避免使用无符号数

2> 特别留意隐藏的强制类型转换行为

三、整型的运算（相当于mod运算）

我们首先要来理解一下“字节膨胀”的概念：

比如我们以w＝4位为例，进行无符号数[1111]＝15和无1.符号数［1010］＝10的加法运算，结果为25=［11001］需要5位来表示结果，依次类推我们如果要完整的表示运算结果，就不能对字长做任何限制。大部分编程语言都选择了固定精度的加减乘除运算，会对结果进行一定的处理。也就与我们数学上的运算有所不同，这一节我们就来学习这些处理方法。

首先来看看加法运算：我们会接触到［无符号的加法］和［补码的加法］。这两组加法运算使用的是相同的机器指令

1.无符号数的加法：

相当于截断高位

溢出的真正含义就是：完整的结果不能放入到固定精度的字长中去，于是最高位就被丢弃掉了。减去2的w次方，相当于结果mod（2的w次方）。

⚠️ 如何判断是否溢出？

运行c程序的时候，溢出并不认为是一种错误。那么我们自己如何判断是否发生了溢出呢？我们可以设s＝x＋y，当结果s < x或者s < y的时候发生了溢出。（证明如下：前面我们2.11的第二种情况下有溢出，我们确定的是y<2的w次方，那么y－2dw就<0。两边加上x，结果就是x＋y－2dw < x发生了溢出）

2.补码的加法：

正溢出产生负数，负溢出产生正数

为什么会有“正溢出产生负数，负溢出产生正数”？

正溢出减去了2的w次方，负溢出加上了2的w次方

举例说明： 

    正溢出［0101］ ＋［0101］ ＝ 5 ＋ 5 ＝ 10 ＝ ［01010］截断最高位0结果为[1010]=-6;

    负溢出 ［1000］＋ ［1011］＝ －8 ＋ －5 ＝ －13 ＝ ［10011］截断高位1结果为[0011]=3.

主要的原因还是我们使用的是固定精度的运算，由于结果不能被完整的保存，我们就需要使用截断高位保存低位的方法。这样做由于正溢出是两个大正数相加，完整的结果仍然数正数，截断最高位相当于减少了2的w次方；而负溢出数两个大负数相加，完整的结果仍然数负数，截断高位1以后相当于加上了2的w次方。

3.补码的非

设置不能表示的数的不骂为它本身

以w=4位为例，补码的表示范围在[-8，7]之间，也就是说[-7，7]内的数可以表示为-x，但是对于最小的TMin=-8的情况怎么办呢？C语音中求解补码的方法是：每位求反，结果加1.

就如[0101] = 5 每位求反为 [1010] 再加上1为：[1011]补码表示为-5。那么同样的方法计算[1000] = -8的求反[0111]再加上1的结果还是[1000] = -8我们就认为的定义了：-8的非就是-8，也就是上个算式中显示的内容了。

4.无符号乘法和补码的乘法（使用相同的机器指令）

无符号的乘法：我们知道如果是w位的两个数相乘，结果最大可能是2w位，C语音中仍然使用的是固定精度的运算，这就导致了结果只能截断到w位，只保留真实值的低w位。计算公式为：

截断高w位相当于mod（2w次方）

补码的乘法：使用的是同无符号数相同的机器指令，并且在低位是相同的

相同位表示的不同数，其乘法运算结果的低w位是一样的

公式表示为：

乘积截断高4位后转补码表示

关于低w位相同的证明其实很简单：

其中x”代表的无符号的值

由于结果中带有2的w次方的同mod2的w次方会丢弃掉。因此我们看到了，mod2的w次方留下的就是低w位，结果同无符号数是一样的。

5.乘以常数（左移）

乘法运算太慢了，需要10个时钟周期，于是编译器就使用移位和加法指令来替代乘以常数。

如：x * 14 ：其中 14被分解为：2d3 + 2d2 + 2d1 （其中d代表次方）编译器的写为：(x<<3)+(x<<2)+(x<<1)一些聪明的编译器甚至改写成：(2<<4)  - (2 << 1)这时候只需要两个移位指令和一个减法指令了。

6.除以2的幂（右移）

除法指令比乘法更慢，相当于30多个时钟周期，所以当除以2的幂的时候经常用右移来代替。

无符号数：逻辑右移动（左边空出来的位补0）

补码：算数右移（左边补出来的数加最高位的值）

舍入的方法：整数的除法是舍入到0的，其中对于负数的除法结果是向下舍入，如-7/2不是-3而是-4，这样做其实是使用的一种偏置值的方法。[X/Y] = [(X+Y-1)/Y]也就是原本是-30/4]=7.5却变成了[-27/4]=6.75向下舍入到-7

7.整数运算总结

整数运算不论是加减乘除，其本身来说就是一种mod运算。由于结果的固定精度，大的就可能会溢出。补码和无符号数使用的是相同的机器运算指令，有相同的位级表示。特别是无符号数的一些意向不到的行为，程序员特别需要注意。

四、浮点数

1.IEEE浮点表示标准：

s符号，m尾数，e阶码

说明：

符号（S）：当s=1为负数，当s=0为正数；

尾数（M）：表示从（1~2）或者（0~1）之间的数；

阶码（E）：可以是负数

单精度和双精度的表示：

M为23或者52位，E为8或者11位

① 规格化值 E ≠ 0 或者 E ≠ 255 （E不全为0或者1）

     阶码段被解释成有偏置值形式的有符号整数：E = e - Bias （其中Bias = 2的k-1次方 - 1 ；以8位为例就是127，11位为例为2047）。

     M尾数定义为1+f 也就是隐含了已1开头，多表示了1位。

② 非规格化值：（E全为0时）

     上一个方法中如何来表示0呢，非规格化就是在表示非常接近于0和0的数

     M = f 

     E = 1 - Bias

③ 特殊值（E全为1时）

a.当M=0时得到无穷大s=0是正无穷大，s=1时是负无穷大；

b.当M≠0时得到了Not a Number（NAN）

应用举例：以w=6位为例 

s1位，E有3位，M有2位

我们尝试来表示最大的规格化数字：（E不全为0或者1）

合成6位的表示就是[0] [110] [11]也就是：011011；

解释一下：

S = 0  结果为 +     偏置值为 3 

那么E不全为1，能表示的最大值就是[110]表示为：E = 6-3 = 3

M最大为[11]也就是3/4由于M = 1 + f 所以结果为 7 / 4

那么最后的计算就是：+1 * 8 * （7/4）= 14

如果以8位为例，我们看图就很好理解了】

8位浮点表示的非负数值

主要解释一下过渡阶段：

平滑过渡

非规格化偏置被设置成1-Bias，而不是-Bias。我们其实是补偿非规格化的尾数没有隐含的1开头这一事实，这样7/512和8/512就实现了平滑的过渡。

我们来练习一下将整数12345二进制表示为[11000000111001]转化为单精度浮点表示，将二进制左移13位表示为1.1000000111001 X 2的13次方。为了适应IEEE规格化表示，我们表示尾数M时丢弃掉最高位1，并在末尾增加10个0.M = [1000000111001 0000000000]。为了构造阶码字段我们用13+127 = 140 二进制表示为[10001100]再加上一个符号位0我们的最后结果就是[01000110010000001110010000000000]我们观察12345（0X3039）同浮点数12345.0（0X4640e400）的位级表示：

我们看到尾数M同0x3039正好是相差最高位1

这样的存储结果，加*的上下两段其实是一样的。看起来完全不同的位级表示，其实有其内在的相同点。

2. 舍入

以美元为例的4种不同的舍入方法

计算机使用的是向偶数舍入的方法，为了避免统计上的误差，在一半的时间向下舍入，另一半的时间向上舍入。

3.浮点数的数学属性

由于舍入而产生的丢失精度，浮点数的运算中不具有结合性

C语言中的浮点数使用注意事项：

【词汇】

  程序对象：学习过汇编的同学应该不难理解，有点儿像程序的数据段、代码段，即是：程序数据、指令和控制信息；