- 尽管我们的二分法搜索证明历经曲折，但是按照某些标准来衡量还是不够完善。你会如何证明该程序没有运行时错误（例如除数为0、数值溢出、变量值超出声明的范围或者数组下标越界）呢？如果有离散数学的基础知识，你能否使用逻辑系统形式化该证明？
为了证明程序不会出现溢出错误，我们在不变式中添加条件0<=l<=n和-1<=u<=n，这样我们就可以限定l+n的范围了。这两个条件还可以用于证明不会访问数组边界之外的元素。如果像9.3节一样定义假想的边界元素x[-1]和x[n]，那么我们就能将mustbe(l,u)形式化的定义为x[l-1]和x[u+1]>t。 - 如果原始的二分搜索对你来说太过容易了，那么请试试这个演化后的版本：把t在数组x中第一次出现的位置返回给p（如果存在多个t的情况下，原始的算法会任意返回其中一个）。要求代码对数组元素进行对数次比较（该任务可以在log2n次比较之内完成）。
int bs(int *a, int begin, int end, int v)
{
//开始
int *b = a + begin;
//结束
int *e = a + end;
//中间
int *mid = NULL;
//直到等于第一个出现的值
while (b < e)
{
mid = b + ((e - b)>>1);
//得到中间位置的地址
if (*mid >= v)
e = mid;
else
b = mid + 1;
}
if ((e-a) < end && (*e == v))
return (int)(e-a);
return -1;
}
代码测试：
int a[] = {8,9,9,9,10};
printf("==%d\n",bs(a, 0, 5, 10));
- 编写并验证一个递归的二分搜索程序。代码和证明中的哪些部分与迭代版本的二分搜索程序相同？哪些发生了改变？
int bs(int *a, int begin, int end, int v)
{
//开始
int *b = a + begin;
//结束
int *e = a + end;
//中间
int *mid = NULL;
//直到等于第一个出现的值
while (b < e)
{
mid = b + ((e - b)>>1);
//得到中间位置的地址
if (*mid >= v){
e = mid;
return bs(a, (int)(b - a), (int)(e - a), v);
}
else{
b = mid + 1;
return bs(a, (int)(b - a), (int)(e - a), v);
}
}
if ((e-a) <= end && (*e == v))
return (int)(e-a);
return -1;
}
测试代码：
int a[] = {8,9,9,9,10};
printf("==%d\n",bs(a, 0, 5, 10));
- 给你的二分搜索程序添加虚拟的“计时变量”来计算程序执行的比较次数，并使用程序验证技术来证明其运行时间确实使对的。
略 - 证明下面程序再输入x为正整数时能够终止。
while (x != 1)do
if even(x)
x = x/2
else
x = 3*x + 1
略
- 给定一个盛有一些黑色豆子和一些白色豆子的咖啡罐以及一大堆额外的黑色豆子，重复以下过程，直至罐中仅剩一颗豆子为止。从罐中随机选取两颗豆子，如果颜色相同，就将它们都扔掉并且放入一个额外的黑色豆子，如果颜色不同，就将白色的豆子放回罐中，而将黑色的豆子扔掉。证明该过程会终止。最后留在罐中的豆子颜色与最初的罐中的白色豆子和黑色豆子的数量有什么数学关系。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
//生成begin到end之间的随机数
int randomBean(double begin,double end)
{
return begin+(end-begin)*rand()/(RAND_MAX +1.0);
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
//生成一个罐子里边包含白豆子、黑豆子、备用的黑豆子
int result[200] ={0};
//初始化随机发生器的状态，因为时间随时都在发生变化，这样产生的伪随机数能做到乱真的效果
srand((unsigned)(time(0)));
int sum = 0,bBean = 0,wBean = 0;
//随机生成黑豆子和白豆子共150个，黑色豆子标记为1
for (int i = 0; i < 150; ++i) {
result[i] = randomBean(0, 2);
}
//统计黑豆子和白豆子的数量
for (int i = 0; i < 150; ++i) {
if (result[i]) {
++ bBean;
}else{
++ wBean;
}
}
printf("黑豆子：%d个,白豆子：%d个\n",bBean,wBean);
int end = 149;
//对罐子里的豆子进行比较
for (sum = 150; sum > 1;) {
int first,last;
//随机选取两个豆子，两个豆子不一样
first = randomBean(0, end + 1);
last = first;
while (first == last) {
last = randomBean(0 , end + 1);
}
//对豆子进行比较
//如果相同，将一个豆子变成黑色（相当于扔掉了相同豆子中的一个，放入一个黑色的豆子）
//如果不同，将一个豆子变成白色（相当于扔掉了不同豆子中的一个，放入一个白色的豆子）
if (result[first] == result[last]) {
result[first] = 1;
}else{
result[first] = 0;
}
//将另外一个豆子颜色变成最后一个豆子的模样（相当于扔掉另外一个豆子）
result[last] = result[end];
//处理完成以后，罐子里的豆子减少了一个
--end;
--sum;
}
//最后结果是：如果白豆子是奇数最后一个是白豆子，否则相反。
if (result[0]) {
printf("最后一颗豆子是黑色\n");
}else{
printf("最后一颗豆子是白色\n");
}
return 0;
}
- 一位同事在编写一个在位图显示器中画线的程序时遇到了下面的问题。n对实数（ai，bi）构成的数组定义了n条直线yi=aix+bi。当x位于[0,1]内时，对于区间[0，n-2]内所有的i，这些线段按yi<yi+1排序。更形象的话说，这些线段在垂直方向上不交叉。给定一个满足0《x《1的点（x，y），他需要确定包围这个点的两条线段。他该如何快速解决这个问题？
