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什么是Quick select?
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Quick select算法通常用来在未排序的数组中寻找第k小/第k大的元素。其方法类似于Quick sort。Quick select和Quick sort都是由Tony Hoare发明的，因此Quick select算法也被称为是Hoare's selection algorithm。 -
Quick select算法因其高效和良好的average case时间复杂度而被广为应用。Quick select的average case时间复杂度为O(n)，然而其worst case时间复杂度为O(n^2)。 - 总体而言，
Quick select采用和Quick sort类似的步骤。首先选定一个pivot，然后根据每个数字与该pivot的大小关系将整个数组分为两部分。那么与Quick sort不同的是，Quick select只考虑所寻找的目标所在的那一部分子数组，而非像Quick sort一样分别再对两边进行分割。正是因为如此，Quick select将平均时间复杂度从O(nlogn)降到了O(n)。
Quick select 算法描述
Input: array nums, int k. (find kth smallest element in an unsorted array)
Output: int target
- Choose an element from the array as pivot, exchange the position of pivot and number at the end of the array.
- _The pivot can either be the end element or a random chosen element. A random chosen pivot can make the algorithm much possibly run in average case time. _
- Partition the array into 2 parts in which the numbers in left subarray is less than (or equal to) the pivot and the numbers in right subarray is greater than (or equal to) the pivot.
- Exchange pivot (at the end of the array now) with the first element in the right part.
- Compare k with length of the left subarray, say, len.
- if k == len + 1， then pivot is the target.
- if k <= len, repeat from step 1 on the left subarray.
- if k > len, k = k - len, repeat from step 1 on the right subarray.
Quick Select Java实现
Java代码如下：
public class Solution {
public int findKthSmallest(int[] nums, int k) {
if (nums == null || nums.length == 0) {
return Integer.MIN_VALUE;
}
int len = nums.length;
return quickSelect(nums, k, 0, len - 1);
}
private int quickSelect(int[] nums, int k, int start, int end) {
//Choose a pivot randomly
Random rand = new Random();
int index = rand.nextInt(end - start + 1) + start;
int pivot = nums[index];
swap(nums, index, end);
int left = start, right = end;
while(left < right) {
if (nums[left++] >= pivot) {
swap(nums, --left, --right);
}
}
//left is now pointing to the first number that is greater than or equal to the pivot
swap(nums, left, end);
//m is the number of numbers that is smaller than pivot
int m = left - start;
if (m == k - 1) { //in order to find the kth smallest number, there must be k - 1 number smaller than it
return pivot;
}
else if (k <= m) { //target is in the left subarray
return quickSelect(nums, k, start, left - 1);
}
else {
//target is in the right subarray, but need to update k
//Since we have discarded m numbers smaller than it which is in the right subarray
return quickSelect(nums, k - m, left, end);
}
}
private void swap(int[] nums, int i, int j) {
int tmp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = tmp;
}
}
注意：在上节和本节中给出的算法和代码无法处理数组中有重复的情况。对于数组中有重复数字的情况，可以先扫描整个数组，利用
HashSet或其他数据结构得到所有唯一的数字，然后使用本算法处理。
Quick Select 复杂度分析
时间复杂度
完整的平均时间复杂度分析非常复杂，在这里不再赘述。有兴趣的可以看这里。
一般来说，因为我们才用了随机选取pivot的过程，平均来看，我们可以假设每次pivot都能选在中间位置。设算法时间复杂度为T(n)。在第一层循环中，我们将pivot与n个元素进行了比较，这个时间为cn。
所以第一步时间为：T(n) = cnc + T(n/2)。其中T(n/2)为接下来递归搜索其中一半的子数组所需要的时间。
在递归过程中，我们可以得到如下公式：
T(n/2) = c(n/2) + T(n/4)
T(n/4) = c(n/4) + T(n/8)
...
T(2) = 2*c + T(1)
T(1) = 1*c
将以上公式循环相加消除T项可以得到：
T(n) = c(n + n/2 + n/4 + n/8 + ... + 2 + 1) = 2n = O(n)
因此得到Quick Select算法的时间复杂度为O(n)。空间复杂度
算法没有使用额外空间，swap操作是inplace操作，所以算法的空间复杂度为O(1)。
