转自：https://blog.csdn.net/weixin_40332490/article/details/89133859
题设：假设有两条直线 L1，L2 ，以及两条直线的方向向量V1，V2，求其最短距离连线的连接点。
首先，最短距离很好求，也即是两异面直线公垂线的长度，选择L1上任意一点P1连接L2上任意一点P2，则线段P1P2在L1，L2的公垂线上的投影即是长度,这个太简单，而且百度搜索一搜一大堆，不解释
而异面直线的垂足点，则不是那么好求，我找了好一阵网上的代码，坑得要死，无奈只能自己写，
基本思路如下，
因为直线的定义可以由如下式子给出
L(t) = P + t*V
则在L1和L2上分别选择任意的p1,p2,以及对应的t1,t2,得到的L1(t1),L2(t2)。
写作如下等式
L1(t1) = P1 + t1V1--------------------------(1)
L2(t2) = P2 + t2V2--------------------------(2)
如果L1(t1),L2(t2)刚好是各自直线的垂足点，
那么可以得出此时| L2(t2)-L1(t1) | 的模长为最小值
且构成的 L2(t2)-L1(t1) 向量刚好就是公垂线
因为v1,和 v2都和公垂线垂直，所以，v1和v2各自和公垂线的点乘都为0
于是我们可以写出如下等式
（ L2(t2)-L1(t1) ） . V1 = 0 //.表示点乘
（ L2(t2)-L1(t1) ） . V2 = 0
即
（t2V2-t1V1 + P2 - P1 ）.V1 = 0
（t2V2-t1V1 + P2 - P1 ）.V2 = 0
整理
t2V2.V1 - t1V1.V1 + (P2 - P1).V1 = 0
t2V2.V2 - t1V1.V2 + (P2 - P1).V2 = 0
令
a = V1 .V2 = V2.V1
b = V1.V1
c = V2.V2
d = (P2 - P1) .V1
e = (P2 - P1).V2
则上式可化简为
at2 - bt1 + d = 0
ct2 - at1 + e = 0
以下分三种情形讨论
当a = 0 ，即 V1 .V2 = V2.V1 = 0时，表明原始两条直线互相垂直
则
t1 = d / b;
t2 = -e / c;
当a != 0时候
解上述方程
t1 = (ae -cd)/(aa-bc)
t2 = b/a * t1 - d/a
这里发现当(a * a - b * c) = 0时，即(V2.V1) * (V2.V1) = (V1.V1) * (V2.V2) = 0时，也就是两条直线平行或共线，此时无意义，所以只要排除即可
综上所述
a = 0 时
t1 = d / b;
t2 = -e / c;
a! = 0 时
t1 = (ae -cd)/(aa-bc)
t2 = b/a * t1 - d/a
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
double dotMultiply(double* v1, double* v2){//点乘
double v;
v = v1[0]*v2[0] + v1[1] * v2[1] + v1[2] * v2[2];
return v;
}
void perpend(double* p1, double* v1, double* p2, double* v2, double* t1, double* t2){
double a=dotMultiply(v1,v2);
double b=dotMultiply(v1,v1);
double c=dotMultiply(v2,v2);
double p2p1[3];
p2p1[0]=p2[0]-p1[0];
p2p1[1]=p2[1]-p1[1];
p2p1[2]=p2[2]-p1[2];
double d=dotMultiply(p2p1,v1);
double e=dotMultiply(p2p1,v2);
if(a==0){
*t1=d/b;
*t2=-e/c;
}
if(a!=0){
*t1=(a*e-c*d)/(a*a-b*c);
*t2=(b/a)*(*t1)-d/a;
}
}
void test(){
double v1[3]={1,0,0};
double v2[3]={0,1,0};
double p1[3]={10,0,0};
double p2[3]={1,10,0};
double t1,t2;
perpend(p1,v1,p2,v2,&t1,&t2);
cout<<"t1 = "<<t1<<endl;
cout<<"t2 = "<<t2<<endl;
double p11[3]; double p22[3];
double p[3]; double b[3];
p[0]=t1*v1[0];
p[1]=t1*v1[1];
p[2]=t1*v1[2];
b[0]=t2*v2[0];
b[1]=t2*v2[1];
b[2]=t2*v2[2];
p11[0]=p1[0]+p[0];
p11[1]=p1[1]+p[1];
p11[2]=p1[2]+p[2];
p22[0]=p2[0]+b[0];
p22[1]=p2[1]+b[1];
p22[2]=p2[2]+b[2];
printf("垂足1：%f %f %f\n",p11[0], p11[1], p11[2]);
printf("垂足2：%f %f %f\n",p22[0], p22[1], p22[2]);
double cha[3];
cha[0]=p22[0]-p11[0];
cha[1]=p22[1]-p11[1];
cha[2]=p22[2]-p11[2];
printf("%f\n",v1[0]*cha[0]+v1[1]*cha[1]+v1[2]*cha[2]);
printf("%f\n",v2[0]*cha[0]+v2[1]*cha[1]+v2[2]*cha[2]);
}
int main(){
test();
return 0;
}
