多元统计分析基本概念

1. 多元样本的表示

多元随机样本：从多元总体中随机抽取n个个体 $X_{(1)},X_{(2)},…,X_{(n)}$ ，若他们相互独立且与总体同分布，则称 $X_{(1)},X_{(2)},…,X_{(n)}$ 为该总体的一个多元随机样本，简称随机样本。

将n个样品对p个指标进行观测，结果如下

$\left\{ \begin{matrix} X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1n} \\ X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ X_{p1} & X_{p2} & \cdots & X_{pn} \\ \end{matrix} \right\} =(X_{(1)},X_{(2)},…,X_{(n)})$

其中， $X_{(i)}==(X_{1i},X_{2i},…,X_{pi})^T= \left( \begin{matrix} X_{1i} \\ X_{2i} \\ \vdots \\ X_{pi} \\ \end{matrix} \right)(i=1,2,…,n)$ ，把每个样品 $X_{(i)}$ 看作一随机向量，因此
$\left\{ \begin{matrix} X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1n} \\ X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ X_{p1} & X_{p2} & \cdots & X_{pn} \\ \end{matrix} \right\}_{p×n}$
就是一个随机矩阵，为观测矩阵或样本资料库。

注：多元样本中的每个样品，对p个指标的观测值往往有相关关系，但不同样品之间的观测值一定相互独立；多元分析处理的多元数据一般都属于横截面数据，如果是时序数据则属于多元时间序列分析的范畴。

2. 多元样本的数字特征

设 $X_{(1)},X_{(2)},…,X_{(n)}$ 为来自p元总体的样本，其中， $X_{(1)}=(X_{1i},X_{2i},…,X_{pi})^T(i=1,2,…,n)$ 。

（1）样本均值向量定义为
$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{(i)}= \left( \begin{matrix} \overline{X}_1 \\ \overline{X}_2 \\ \vdots \\ \overline{X}_p \\ \end{matrix} \right)$

这里， $\overline{X}_j =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{ji}(j=1,2,…,p)$

（2）样本离差阵定义为
$S=\sum_{h=1}^{n}(X_{(h)}- \overline{X})(X_{(h)}- \overline{X})^T=(S_{ij})_{p×p}$
（3）样本协差阵定义为
$V=\frac{1}{n-1}S=\frac{1}{n-1}\sum_{h=1}^{n}(X_{(h)}- \overline{X})(X_{(h)}- \overline{X})^T=(V_{ij})_{p×p}$
（4）样本相关阵定义为
$R=(r_{ij})_{p×p}$

这里， $r_{ij}=\frac{V_{ij}}{V_{ii}V_{jj}}=\frac{S_{ij}}{S_{ii}S_{jj}}$ 是样本相关系数。

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