一、范畴与问题

乐理面向的当然是乐音，而非噪音。
但是，随着现代各种电子合成技术的发展，乐音和噪音之间的界限已经非常模糊了。
因此，我们从频谱分析的角度来界定“音名”的适用范围：

所有频谱上有一个明显主峰的声音，并且，将该主峰的频率定义为该声音的频率

显然，以上是比较模糊的定义。如果要将其细化，可以考虑主峰的高度和平均高度之比，以及主峰和次峰的高度之比这两个参数，通过划定阈值的办法清晰的定义这个集合。但艺术并不需要这么精确，有特殊需要的朋友自己回家定个阈值，自娱自乐就行了。

音名是对频率的重新命名。理论上，音乐家当然可以直接用频率大小作为每个音的标志符。这种方式甚至比音名系统更加完备，但显然对人类不友好。音名系统在友好性和表达的完备性之间做了一个折衷：音名系统能表达的频率非常够用，同时读写起来符合人类的生理特性。

二、十二平均律

十二平均律下，音名系统能够表达的频率集合可以被表示为： $F(f_0) = \{ f|f = 2^{n \over 12} f_0, n \in \mathbb Z \}$ 。

这是对频率进行对数变换后等间隔采样的结果。
其中，n的取值范围理论上可以是整数，但是因为人类可感知的频率范围有限，因此实际应用中，范围是有限的。

$f_0$ 是标准频率，改变 $f_0$ 会让音名系统能表示的音发生偏移。值得注意的是， $F(f_0)$ 有一个类似周期性的性质：
$F(f_0) = F(f_0 * 2^{1 \over 12})$

实际应用中，我们将使用国际标准音高：c1 = 261.6Hz。
也就是 $f_0 = 261.6$ 。

十二平均律将频率比为2的两个音按照对数坐标均匀划分为12段进行采样，这也是十二平均律的命名来源。为什么是对数坐标呢？这是人的听觉习惯决定的。

通过实验，学者们发现人对音高的感知和频率的关系几乎是对数关系，详细的结果被命名为Mel Scale：
$F_{mel}(m) = 700 (e^{m \over 1127} - 1) , m \in \mathbb R$
可以看到，它几乎是对数的。

十二平均律的发明显然早于Mel Scale，但十二平均律是对Mel Scale所总结的> 人的生理特点的近似。理论上来说，一个按照Mel Scale调过音的乐器听起来> 会比按照十二平均律调过的乐器更加“和谐”。
注意到，Mel Scale是一个连续的变换，我们需要对其进行等间隔采样才能得> 到使其和十二平均律对等，从而可以让乐器按照Mel Scale调音。

三、音名系统

字母集合

十二平均律中： $f(n) = 2^{n \over 12} f_0$
音名系统首先解决 $n = 0, 1, 2, ... 11$ 的命名，然后其他的情况直接用平移+编号的方案。

音名系统使用 $\{C, D, E, F, G, A, B\}$ 作为其基本字符集。
命名规则为：
$C \sim f(0) \quad D \sim f(2) \quad E \sim f(4) \quad F \sim f(5)\\ G \sim f(7) \quad A \sim f(9) \quad B \sim f(11)$
注意到，以上名字对 $n = 1, 3, 6, 8, 10$ 的情况并没有覆盖。这是由于历史上C-B这几个音是比较常用的音，因此被赋予了特殊的地位。但音乐发展到现在，它们的特殊地位只剩下单纯的历史遗留因素了。