在上文数据结构：树型结构一文中个，对于树形结构的定义及术语和应用场景进行了说明。
二叉树作为树形结构的一种具体表现形式，我们也在这一篇文章中进行详细说明。
二叉树的定义：
二叉树是树形结构的一个重要类型。
许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树的形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。
二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。 这个定义是递归的。由于左、右子树也是二叉树， 因此子树也可为空树。
下图中展现了五种不同基本形态的二叉树。
二叉树的五种基本形态
其中
- (a) 为空树
- (b) 为仅有一个结点的二叉树
- (c) 是仅有左子树而右子树为空的二叉树
- (d) 是仅有右子树而左子树为空的二叉树
- (e) 是左、右子树均非空的二叉树
这里应特别注意的是，二叉树的左子树和右子树是严格区分并且不能随意颠倒的，图 (c) 与图 (d) 就是两棵不同的二叉树。
二叉树的遍历
对于二叉树来讲最主要、最基本的运算是遍历。
遍历二叉树是指以一定的次序访问二叉树中的每个结点。
所谓访问结点是指对结点进行各种操作的简称。
例如：查询结点数据域的内容，或输出它的值，或找出结点位置，或是执行对结点的其他操作。
遍历二叉树的过程实质是把二叉树的结点进行线性排列的过程。假设遍历二叉树时访问结点的操作就是输出结点数据域的值，那么遍历的结果得到一个线性序列。
从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部分组成。因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作：
- 访问结点本身(N)
- 遍历该结点的左子树(L)
- 遍历该结点的右子树(R)。
以上三种操作有六种执行次序： NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。
注意：前三种次序与后三种次序对称，故只讨论先左后右的前三种次序。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtlee)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。
二叉树的java实现
首先创建一棵二叉树如下图，然后对这颗二叉树进行遍历操作（遍历操作的实现分为递归实现和非递归实现），同时还提供一些方法如获取双亲结点、获取左孩子、右孩子等。
二叉树示意图
Java实现代码：
import java.util.Stack;
/**
* 二叉树的链式存储
*/
public class BinaryTree {
/**
* 二叉树的节点数据结构
*/
private class TreeNode{
/**
* 序号
*/
private int key=0;
/**
* 值
*/
private String data=null;
private boolean isVisted=false;
/**
* 左儿子节点
*/
private TreeNode leftChild=null;
/**
* 右儿子节点
*/
private TreeNode rightChild=null;
/**
* 默认构造方法
*/
public TreeNode(){}
/**
* @param key 层序编码
* @param data 数据域
*/
public TreeNode(int key,String data){
this.key=key;
this.data=data;
this.leftChild=null;
this.rightChild=null;
}
}
private TreeNode root=null;
/**
* 默认构造方法
* 指定根节点
*/
public BinaryTree(){
root=new TreeNode(1,"rootNode(A)");
}
/**
* 创建一棵二叉树
* <pre>
* A
* B C
* D E F
* </pre>
* @param root
* @author WWX
*/
public void createBinTree(TreeNode root){
TreeNode newNodeB = new TreeNode(2,"B");
TreeNode newNodeC = new TreeNode(3,"C");
TreeNode newNodeD = new TreeNode(4,"D");
TreeNode newNodeE = new TreeNode(5,"E");
TreeNode newNodeF = new TreeNode(6,"F");
newNodeC.rightChild = newNodeF;//root.rightChild.rightChild=newNodeF;
newNodeB.leftChild = newNodeD;//root.leftChild.leftChild=newNodeD;
newNodeB.rightChild = newNodeE;//root.leftChild.rightChild=newNodeE;
root.leftChild = newNodeB;
root.rightChild = newNodeC;
}
/**
* 判断跟节点是否为空
* @return 返回根节点是否为空
*/
public boolean isEmpty(){
return root == null;
}
//树的高度
public int height(){
return height(root);
}
//节点个数
public int size(){
return size(root);
}
/**
* 计算二叉树节点的高度
* @param subTree 节点
* @return 节点高度
*/
private int height(TreeNode subTree){
if(subTree == null)
return 0;//递归结束：空树高度为0
else{
int i = height(subTree.leftChild);
int j = height(subTree.rightChild);
return (i < j) ? (j + 1) : (i + 1);
}
}
/**
* 计算节点大小
* @param subTree 节点
* @return 节点大小
*/
private int size(TreeNode subTree) {
if(subTree == null){
return 0;
} else {
return 1 + size(subTree.leftChild) + size(subTree.rightChild);
}
}
//返回双亲结点
public TreeNode parent(TreeNode element){
return (root == null || root == element) ? null : parent(root, element);
}
public TreeNode parent(TreeNode subTree,TreeNode element){
if(subTree == null)
return null;
if(subTree.leftChild == element || subTree.rightChild == element)
//返回父结点地址
return subTree;
TreeNode p;
//现在左子树中找，如果左子树中没有找到，才到右子树去找
if((p = parent(subTree.leftChild, element)) != null)
//递归在左子树中搜索
return p;
else
//递归在右子树中搜索
return parent(subTree.rightChild, element);
}
public TreeNode getLeftChildNode(TreeNode element){
return (element != null) ? element.leftChild : null;
}
public TreeNode getRightChildNode(TreeNode element){
return (element != null) ? element.rightChild : null;
}
public TreeNode getRoot(){
return root;
}
//在释放某个结点时，该结点的左右子树都已经释放，
//所以应该采用后续遍历，当访问某个结点时将该结点的存储空间释放
public void destroy(TreeNode subTree){
//删除根为subTree的子树
if(subTree != null){
//删除左子树
destroy(subTree.leftChild);
//删除右子树
destroy(subTree.rightChild);
//删除根结点
subTree=null;
}
}
public void traverse(TreeNode subTree){
System.out.println("key:" + subTree.key + "--name:" + subTree.data);;
traverse(subTree.leftChild);
traverse(subTree.rightChild);
}
//前序遍历
public void preOrder(TreeNode subTree){
if(subTree != null){
visted(subTree);
preOrder(subTree.leftChild);
preOrder(subTree.rightChild);
}
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode subTree){
if(subTree != null){
inOrder(subTree.leftChild);
visted(subTree);
inOrder(subTree.rightChild);
}
}
//后续遍历
public void postOrder(TreeNode subTree) {
if (subTree != null) {
postOrder(subTree.leftChild);
postOrder(subTree.rightChild);
visted(subTree);
}
}
//前序遍历的非递归实现
public void nonRecPreOrder(TreeNode p){
Stack<TreeNode> stack=new Stack<TreeNode>();
TreeNode node=p;
while(node!=null||stack.size()>0){
while(node!=null){
visted(node);
stack.push(node);
node=node.leftChild;
}
while (stack.size()>0){
node=stack.pop();
node=node.rightChild;
}
}
}
//中序遍历的非递归实现
public void nonRecInOrder(TreeNode p){
Stack<TreeNode> stack =new Stack<BinaryTree.TreeNode>();
TreeNode node =p;
while(node!=null||stack.size()>0){
//存在左子树
while(node!=null){
stack.push(node);
node=node.leftChild;
}
//栈非空
if(stack.size()>0){
node=stack.pop();
visted(node);
node=node.rightChild;
}
}
}
//后序遍历的非递归实现
public void noRecPostOrder(TreeNode p){
Stack<TreeNode> stack=new Stack<BinaryTree.TreeNode>();
TreeNode node =p;
while(p!=null){
//左子树入栈
for(;p.leftChild!=null;p=p.leftChild){
stack.push(p);
}
//当前结点无右子树或右子树已经输出
while(p!=null&&(p.rightChild==null||p.rightChild==node)){
visted(p);
//纪录上一个已输出结点
node =p;
if(stack.empty())
return;
p=stack.pop();
}
//处理右子树
stack.push(p);
p=p.rightChild;
}
}
public void visted(TreeNode subTree){
subTree.isVisted=true;
System.out.println("key:"+subTree.key+"--name:"+subTree.data);;
}
//测试
public static void main(String[] args) {
BinaryTree bt = new BinaryTree();
bt.createBinTree(bt.root);
System.out.println("the size of the tree is " + bt.size());
System.out.println("the height of the tree is " + bt.height());
System.out.println("*******(前序遍历)[ABDECF]遍历*****************");
bt.preOrder(bt.root);
System.out.println("*******(中序遍历)[DBEACF]遍历*****************");
bt.inOrder(bt.root);
System.out.println("*******(后序遍历)[DEBFCA]遍历*****************");
bt.postOrder(bt.root);
System.out.println("***非递归实现****(前序遍历)[ABDECF]遍历*****************");
bt.nonRecPreOrder(bt.root);
System.out.println("***非递归实现****(中序遍历)[DBEACF]遍历*****************");
bt.nonRecInOrder(bt.root);
System.out.println("***非递归实现****(后序遍历)[DEBFCA]遍历*****************");
bt.noRecPostOrder(bt.root);
}
}
执行结果为：
the size of the tree is 6
the height of the tree is 3
*******(前序遍历)[ABDECF]遍历*****************
key:1--name:rootNode(A)
key:2--name:B
key:4--name:D
key:5--name:E
key:3--name:C
key:6--name:F
*******(中序遍历)[DBEACF]遍历*****************
key:4--name:D
key:2--name:B
key:5--name:E
key:1--name:rootNode(A)
key:3--name:C
key:6--name:F
*******(后序遍历)[DEBFCA]遍历*****************
key:4--name:D
key:5--name:E
key:2--name:B
key:6--name:F
key:3--name:C
key:1--name:rootNode(A)
***非递归实现****(前序遍历)[ABDECF]遍历*****************
key:1--name:rootNode(A)
key:2--name:B
key:4--name:D
key:3--name:C
key:6--name:F
***非递归实现****(中序遍历)[DBEACF]遍历*****************
key:4--name:D
key:2--name:B
key:5--name:E
key:1--name:rootNode(A)
key:3--name:C
key:6--name:F
***非递归实现****(后序遍历)[DEBFCA]遍历*****************
key:4--name:D
key:5--name:E
key:2--name:B
key:6--name:F
key:3--name:C
key:1--name:rootNode(A)
