负数取模怎么算

对于整数的取模运算,想必大家已经比较熟悉了,譬如说 7 对 3 取模,结果是多少,我们可以按照小学的公式:被除数÷除数=商……余数 来推算:
7 ÷ 3 = 2 ...... 1
那么结果是 1。
对于正整数来说,上面的计算没有问题。那么,下面的结果是多少,有人能马上回答出来吗?

  • -17 % 10
  • 17 % -10
  • -17 % 10

在看结果之前,我们先看看整数除法的取整问题。

整数除法取整

考虑这样一个计算题:18 除以 5,要得到一个整数结果,究竟应该是 3 还是 4?这就是一个问题了。计算机上有几种对于结果取整的方法:

  • 向上取整,向+∞方向取最接近精确值的整数,也就是取比实际结果稍大的最小整数,也叫 Ceiling 取整。这种取整方式下,17 / 10 == 2,5 / 2 == 3, -9 / 4 == -2。
  • 向下取整,向-∞方向取最接近精确值的整数,也就是取比实际结果稍小的最大整数,也叫 Floor 取整。这种取整方式下,17 / 10 == 1,5 / 2 == 2, -9 / 4 == -3。
  • 向零取整,向0方向取最接近精确值的整数,换言之就是舍去小数部分,因此又称截断取整(Truncate)。这种取整方式下,17 / 10 == 1,5 / 2 == 2, -9 / 4 == -2。

取模怎么算

取模运算实际上是计算两数相除以后的余数。假设 q 是 a、b 相除产生的商(quotient),r 是相应的余数(remainder),那么在几乎所有的计算系统中,都满足:
a = b x q + r,其中 |r|<|a|。
因此 r 有两个选择,一个为正,一个为负;相应的,q 也有两个选择。如果a、b 都是正数的话,那么一般的编程语言中,r 为正数;或者如果 a、b 都是负数的话,一般 r 为负数。但是如果 a、b 一正一负的话,不同的语言则会根据除法的不同结果而使得 r 的结果也不同,但是一般 r 的计算方法都会满足:
r = a - (a / b) x b

计算机怎么算

计算机怎么算,并不是一个好回答的问题,因为不同语言里面,对于整数除法取整的处理方式并不一样。

  • C/Java 的处理方式
    大多数语言的处理方式都与 C/Java 一致,采用了 truncate 除法。所以在 C/Java 语言中:
    -17 % 10 的计算结果如下:r = (-17) - (-17 / 10) x 10 = (-17) - (-1 x 10) = -7
    17 % -10 的计算结果如下:r = 17 - (17 / -10) x (-10) = (17) - (-1 x -10) = 7
    -17 % -10 的计算结果如下:r = (-17) - (-17 / -10) x (-10) = (-17) - (1 x -10) = -7

  • Python 的处理方式
    Python 语言除法采用的是 floor 除法,所以对 Python 程序员来讲:
    -17 % 10 的计算结果如下:r = (-17) - (-17 / 10) x 10 = (-17) - (-2 x 10) = 3
    17 % -10 的计算结果如下:r = 17 - (17 / -10) x (-10) = (17) - (-2 x -10) = -3
    -17 % -10 的计算结果如下:r = (-17) - (-17 / -10) x (-10) = (-17) - (1 x -10) = -7
    据说,Python 3.x 中「/」运算符的意义发生了变化,「/」产生的结果将不会再进行取整,相应的「//」运算符的结果才会进行取整。

  • Common Lisp 的处理方式
    Common Lisp 的特殊操作符「/」的结果是分数,因此不会存在截尾的问题。但是 Common Lisp 提供了 TRUNCATE 函数和 FLOOR 函数分别对应上述的两种除法。相应的,Common Lisp 的 REM 函数类似于 C/Java 语言中的取模运算;而 MOD 函数类似于 Python 语言中的取模运算。
    例如,在 Clojure 这门 Lisp 方言中,(rem -17 10) == -7,(mod -17 10) == 3

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