伽罗瓦理论

一、正规扩域

在研究域 F 的代数扩张 E 时，首要的前提是扩域 E 是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是 F 的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质自行讨论，这里就先假定它的存在性。其次，不同的闭包之间并不一定是互通的，下面的讨论将回避这种“平行世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包 $Ω$ 中。

即使只在某个闭包中，满足特定条件的扩域总也有多种选择的方法，这种将域对应到闭包中的映射一般称为域的嵌入，不同的嵌入之间称为共轭域。它不仅给域找到了统一的闭包，还是研究扩域结构的重要方法（共轭域当然都保持 F 完全不变）。在前面构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取无关，它们互为共轭域。如果将单扩域嵌入到闭域中，每一种嵌入方法正好对应 $f(x)$ 的一个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。

以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同一个单扩域中，我们自然要问：那么不同的分裂域嵌入还会有互异元素吗？更一般地，考察多项式集合 $S⊆F[x]$ 的分裂域 $E$ ，假设 $E$ 同构于另一个分裂域 $E′$ 且同构映射为 $σ$ 。因为任何 $f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)\in S$ 的系数在 F 中，所以总有 $σ(f(x))=f(x)$ ，所以 $(\sigma(a_1),\cdots,\sigma(a_n))$ 只是 $(a_1,\cdots,a_n)$ 的一个置换。由此若设 S的所有根为 R，则有以下推导过程，也就是说 $E′$ 是 $E$ 的自同构。
$E'=\sigma(E)=\sigma(F(R))=F(\sigma(R))=F(R)=E\tag{1}$

只有自同构共轭的域叫自共轭域，像分裂域这种保持 F 不变的域被称为 F-自共轭域。以上结论证明了：多项式集合的分裂域是自共轭域。容易证明自同构和 F-自同构都形成群，其中自同构群记作 Aut(E)，F-自同构群又叫伽罗瓦群，一般记作 $Gal(E/F)$ ，这个群将是我们研究的重点。如果 E 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域， $Gal(E/F)$ 也叫多项式 $f(x)$ 的伽罗瓦群，记作 $Gal(f)$ 或 $Gal(f,F)$ 。

• 证明 $Z,Q,R$ 只有恒等自同构，而 C 的自同构有无穷多个。

F-自共轭域体现了扩域的唯一性，而另外我们知道，代数扩域可以从任何代数元的单扩域开始。考察 F-自共轭的扩域 E 中任意不可约多项式 $f(x)$ ，如果它在 E 上有一个根 a，则 E 可以从 $F(a)$ 开始生成。前面的讨论中已知，它共轭于一个从 $F(a′)$ 生成的扩域（a′为 $f(x)$ 的另外一个根），由F-自共轭域的唯一性可知 $a′∈E$ ，故 $f(x)$ 在 $E$ 中是分裂的。对任意不可约多项式 $f(x)∈F[x]$ ，若它有根在扩域 E 中，必能得出其它根也在 E 中，这种扩域叫正规扩域（要注意，若 $f(x)$ 在 $E$ 没有根，并不意味 $f(x)$ 在 $E$ 中不可分解）。刚才的结论就是说F-自共轭域是正规扩域，还容易证明正规扩域可以看成是其所有可分裂多项式的生成域，结合前面的结论，以下三个命题是等价的（E为 F 的代数扩域）。
　　（1）E是F的正规扩张；
　　（2）E是F[x]中某个多项式集合的分裂域；
　　（3）E是F-自共轭域。

特别地，若扩张为有限扩张，则第二个命题可以改成某个多项式的分裂域。通过这些等价定义容易证明，正规扩张的交也是正规扩张。所有包含E的正规扩张的交被称为正规闭包，对有限扩张容易证明，生成元的最小多项式集合的分裂域便是正规闭包。

二、伽罗瓦理论

2.1 伽罗瓦群和固定子域

前面提到过，F-自同构群是自同构群 $Aut(E)$ 的子群，不同的子域F对应于不同的子群。这就提醒我们去研究这两者的关联，但要注意这里有两种关联方法，一种是由F确定伽罗瓦群 $Gal(E/F)$ ，另一种则是由 $Aut(E)$ 的子群 $G$ 确定一个子域 $Inv(G)$ ，它被称为 G 的固定子域。这两个映射不一定是相同的，至少还需要一些条件，这将是本节的重点。
$\text{Inv}(G)=\{a\in E\mid \sigma\in G\Rightarrow\sigma(a)=a\}\tag{2}$

先来看看这些映射的基本性质，首先比较显然，映射的像的包含关系都和原像的包含关系相反（公式（3），以下将 $Gal(E/F)$ 简写为 $Gal(F)）$ 。另外也很容易证明，两种映射的复合将原像的范围放大了（公式（4））。对于像这样的复合运算，分别采用和两个视角，结合前面两个包含关系便容易得到复合运算的“消去律”（公式（5））。这些基本性质在下面的讨论中非常重要，你需要熟记于心并不产生混淆。
$G_1\subseteq G_2\Leftrightarrow\text{Inv}(G_1)\supseteq\text{Inv}(G_2),\quad F_1\subseteq F_2\Leftrightarrow\text{Gal}(F_1)\supseteq\text{Gal}(F_2)\tag{3}$
$F\subseteq\text{Inv}\circ\text{Gal}(F),\quad G\subseteq \text{Gal}\circ\text{Inv}(G)\tag{4}$
$\text{Gal}\circ\text{Inv}\circ\text{Gal}(F)=\text{Gal}(F),\quad \text{Inv}\circ\text{Gal}\circ\text{Inv}(G)=\text{Inv}(G)\tag{5}$

2.2 伽罗瓦扩张和Artin定理

为了研究自同构子群和子域的关系，我们需要先对它们的特点做进一步研究。先来考察伽罗瓦群 $Gal(E/F)$ ，它的每个元素是一个F-自同构，群的阶就是自同构的个数。对有限扩域有 $E=F(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ ，所有的嵌入都可以拆分为一系列单扩域 $f(a_1,\cdots,a_{k-1})(a_k)$ 的嵌入。之前的结论告诉我们，每个单扩域嵌入的个数 $c_k$ 不大于 $a_k$ 最小多项式 $f(x)$ 的次数 $d_k=[F(a_1,\cdots,a_k):F(a_1,\cdots,a_{k-1})]$ ，相等的条件是 $f(x)$ 没有重根。如果还要求是自同构嵌入，则还要求 $f(x)$ 的根都在 E 中。

总嵌入的个数自然是 $\prod c_k\leqslant\prod d_k=[E:F]$ ，伽罗瓦群的个数不大于总嵌入数，相等的条件是E是正规扩域。总结以上讨论便有公式（6）成立，而且等号的成立的一个充分条件是：E 既是正规扩域，又是可离扩域。这种可离正规扩张被称为伽罗瓦扩张，当然我们仅关注有限伽罗瓦扩张。
$\left|\text{Gal}(E/F)\right|\leqslant[E:F]\tag{6}$

现在反过来，对E自同构群的有限子群 G，考察 $F=Inv(G)$ 与 $E$ 的关系。如果 E 对 F 是有限扩张，由公式和容易得到 $|G|\leqslant|\text{Gal}(F)|\leqslant[E:F]$ 。对此Artin却给出了截然相反的结论，他证明了 $[E:F]\leqslant|G|$ （这时E自然是F的有限扩张），结合这两点则恒有公式（7）成立。证明过程充分利用了扩域和自同构的性质，可以作为一个很好的例题示范，下面就来介绍其大致思路。
$|G|=[E:\text{Inv}(G)]\tag{7}$

设 $n=|G|$ ，先来考察扩域 E 在 F 上的线性空间的维数，如果维数有限，取 m 大于该维数，则 E 中任何 m 个元素 $a_i$ 都是线性相关的。精确一点描述便是，线性方程 $\sum\limits_{i=1}^m{a_ix_i}=0,(a_i\in E)$ 在F上总有非零解，现在我们就来证明 $m>n$ 时方程有解。为了联系上G，设它的 n 个元素是 ${σ_j}$ ，原方程等价于方程组 $\sum{\sigma_j(a_ix_i)}=\sum{\sigma_j(a_i)x_i}=0$ 在F上有解。由于 $m>n$ ，该方程组在 E 中必定有非零解，我们需要由此构造出 F 上的解。

将任意 $σ_k$ 作用在方程组上得 $\sum{\sigma_k\sigma_j(a_i)\sigma_k(x_i)}=0$ ，由于 $(\sigma_k\sigma_1,\cdots,\sigma_k\sigma_n)$ 只是 $(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)$ 的一个置换，方程组除了顺序没有发生变化，故 $(\sigma_k(x_1),\cdots,(\sigma_k(x_m))$ 也是是原方程组的解。因为 $(x_1,\cdots,x_m)$ 非零，可设 $x_1≠0$ ，则 $\bar{x}=(1,x'_2=\dfrac{x_2}{x_1},\cdots,x'_m=\dfrac{x_m}{x_1})$ 也是方程组的解。若 $x'_i\in F$ 都成立，我们的结论得证。否则设 $x'_2\not\in F$ ，这就是说存在 $σ_k$ 使得 $\sigma_k(x'_2)\ne x'_2$ 。由于 $(1,\sigma_k(x'_2),\cdots,\sigma_k(x'_m))$ 也是方程组的根，与 $\bar x$ 相减便得另一个非零解 $(0,x'_2-\sigma_k(x'_2),\cdots)$ ，其中非零的元素个数比 $\bar x$ 少。这个过程只能进行有限步，最终必定可以得到 F 上的非零解，Artin 定理得证。
　　• K为F的扩域， $f(x)∈F[x]$ ，求证： $Gal(f,F)⩽Gal(f,K)$ 。

2.3 伽罗瓦理论

有了公式（6）和（7），现在回来讨论自同构子群和子域的关系，由于公式（6）等号成立的一个充分条件是伽罗瓦扩张，而伽罗瓦扩张不能处处成立，所以我们把研究限定在某个伽罗瓦扩张中。子域F对应一个它的伽罗瓦域 $G=Gal(E/F)$ ，反之G又对应到它的固定子域 $F′=Inv(G)$ 。现在来比较 $[E:F]$ 和 $[E:F']$ ，根据公式和分别有 $[E:F]=|G|$ 和 $[E:F']=|G|$ ，而公式说明 $F⊆F'$ ，所以有 $F=F'$ ，子域和自同构子群在有限伽罗瓦扩张上建立了对应。

若设 $E,F$ 的所有中间域 $F⩽F'⩽E$ 组成集合 $\Sigma$ ，容易证明 E 对 $\Sigma$ 中的所有元素都是有限伽罗瓦扩张。若设 G 的所有子群构成集合 $Γ$ ，则以上结论则建立了从 $Σ$ 到 $Γ$ 的单射 $φ$ ，它满足公式（8）。反之对任何 $G'∈Γ$ ，首先有 $|G'|=[E:Inv(G')]$ ，而由公式（6）得 $|\text{Gal}\circ\text{Inv}(G')|=[E:\text{Inv}(G')]$ ，所以有 $G'=\text{Gal}\circ\text{Inv}(G')=\varphi(\text{Inv}(G'))$ 。这就说明了 $φ$ 是满射，从而便是一一映射，所有Σ和Γ之间存在一一映射，满足公式（8）。
$\varphi(F')=\text{Gal}(E/F'),\quad\varphi^{-1}(G')=\text{Inv}(G')\tag{8}$

根据 $φ$ 的定义，容易有公式（9）成立，其中 $∪$ 表示生成群（域）。另外，由于 $[E: F]=|G|$ , $[E:F']=|G'|$ ，则 $[F':F]=[G:G']$ （后者表示子群的指数）。看到这个式子，你可能会问一个问题：F′ 是伽罗瓦扩域与 G′ 是正规子群之间是不是有什么关联？容易验证，对任何 $σ∈G$ ， $\sigma G'\sigma^{-1}$ 在映射 $φ$ 中的原像为 $σ(F')$ 。所以 $G'$ 为正规子群的等价条件是 $σ(F')=F'$ ，即 $F'$ 为正规扩域，再由 $F'$ 显然是分离扩域，故 $G'$ 为正规子群的等价条件是 $F'$ 为伽罗瓦扩域。

$F_1\cap F_2=\text{Inv}(G_1\cup G_2),\quad F_1\cup F_2=\text{Inv}(G_1\cap G_2)\tag{9}$
　　
　　进一步地，设 $H=\text{Gal}(F'/F)$ ，构造同态映射 $\eta:H\to G$ ，使得 $\sigma=\eta(h)$ 满足 $\sigma(F')=F'$ ，显然同态核为 $G'$ ，从而 H 与 $G/G'$ 同构（公式（10））。
$\text{Gal}(F'/F)\cong G/G'\tag{10}$

三、经典应用

3.1 正多边形作图

正多边形作图同“三大作图难题”一样古老且著名，有时候它们一起并称为“四大作图难题”。首先容易证明，如果 $p,q$ 互质且正 $p,q$ 边形都可以作出，那么正 $pq$ 边形也可以作出。根据算术基本定理， $n=2^{e}p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}$ ，而正 $2^e$ 边形很容易作出，所以只需研究正 $p_k^{e_k}$ 边形的作图。

高斯在 20 岁时作出了正 17 边形，并给出了正 m 边形可作图的充要条件，这里我们用域的语言重新描述一下论证思路。要想作正 $p_s$ 边形，其实就是作出 $f(x)$ 的根 $ω$ （式（11））。显然 $ω$ 是 $f(x)$ 分裂域的生成元，即 $E=Q(ω)$ 。上一节的作图理论中我们知道， $ω$ 可被作图的充要条件是： $[E:Q]=2^t$ 。
$f(x)=x^{p^s}-1,\quad\omega=e^{\frac{2\pi}{p^s}i}\tag{11}$

由于 E 是一个分裂域，它是伽罗瓦扩张，所以有 $[E:\Bbb{Q}]=\text{Gal}(E/\Bbb{Q})$ 。E 的 Q-自同构 $σ$ 由 $σ(ω)$ 唯一确定， $σ(ω)$ 只能取 $ω^k$ ，其中 $(k,p^s)=1$ 。由初等数论的知识， $k$ 可取 $\varphi(p^s)=p^{s-1}(p-1)$ 个数，所以 $2^t=p^{s-1}(p-1)$ 。首先有 $s=1$ ，再由初等数论的知识，必须有 $t=2^n$ ，且 $2^{2^n}+1$ 为素数。

满足形式（12）的数叫费马数，以上结论就是说 $p^s$ 边形可作图的充要条件是： $s=1$ 且 $p$ 为费马素数。那么 $n$ 边形可作图的条件就是式子（13），其中 $p_k$ 为互异的费马素数。前 5 个费马数恰好是素数，费马当时断言所有费马数都是素数，但至今都还没有找到第6个费马素数。
$F_n=2^{2^n}+1\quad (F_0=3,\,F_1=5,\,F_2=17,\,F_3=257,\,F_4=65537,\,\cdots)\tag{12}$
$m=2^sp_1p_2\cdots p_n,\:(n\geqslant 0)\tag{13}$

3.2 多项式的求根

多项式求根是古代代数的重要内容，早在公元前的古巴比伦，人们就已经掌握了二次的方程的求根。而文艺复兴时期的意大利人，则给出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。对于三次方程，先通过简单的代换 $y=x+\dfrac{a}{3}$ 消除二次项（式（14）），然后利用立方和公式的形式特点将 $y$ 参数化 $y=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}$ 。由于 $m,n$ 可以连续变化，再添加限制条件 $3\sqrt[3]{mn}=p$ ，带入式便将原方程等价于较简单的方程组（15）。
$x^3+ax^2+bx+c=0\:\Rightarrow\: y^3=py+q\tag{14}$
$mn=(\dfrac{p}{3})^3,\quad m+n=q\tag{15}$

对于四次方程同样使用 $y=x+\dfrac{a}{4}$ 消除三次项，然后引入参数 $t$ 并配方（式（16））。找到合适的 $t$ 使方程右侧可配方，这样四次方程就降为了二次方程。而配方成立时t满足一个三次方程，上面已经给出了它的求解方法，这样四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分复杂，这里就不给出了（也没必要）。
$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\:\Rightarrow\: (y^2+t)^2=(2t+p)y^2+qy+(t^2+r)\tag{16}$

当人们迫不及待地向一般五次方程进军时，却发现无论如何都找不到求解公式。所谓“公式”就是四则运算和开方组成的表达式，为了利用扩域的理论，这里需要为开方定义一种的扩域。设 $a∈F$ ，代数闭包中 $x^n=a$ 的任一根记作 $\sqrt[n]{a}$ ，单扩域 $F(\sqrt[n]{a})$ 称为根式扩张。多项式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一个根式扩张链（式（17）），它们可包含分裂域 E。这样的多项式称为是根式可解的，我们问题就是：什么样的多项式根式求解？
$F=F_0\leqslant F_1\leqslant\cdots\leqslant F_n=K,\quad E\subseteq K\tag{17}$

我们先对根式扩张作一些常规讨论，为下面的论证提供有用的工具，以下讨论默认扩域可离，所以分裂域都是伽罗瓦扩域。先来考虑方程 $x^n=1$ ，它的根称为 $n$ 次单位根。在复数域中，所有单位根组成一个循环群，其中的生成元称为 $n$ 次本原根 $（ω）$ 。其实这个结论在一般域中也成立，因为 $n=\prod{p_k^{e_k}}$ ，所以我们只需找到 $p^e$ 次本原根即可。容易证明 $(x^{p^e}-1)/(x^{p^{e-1}}-1)=0$ 的根就是本原根，这样 $x^n−1$ 的分裂域其实就是 $E=F(ω)$ 。

$F(ω)$ 伽罗瓦群的每个元素由 $\sigma(\omega)=\omega^l,(l,n)=1$ 唯一确定，且有到 $Z_n^{*}$ 的单同态映射，所以是一个交换群，这样的扩张称为阿贝尔扩张。对于 $x^n=a$ 的根 $d=\sqrt[n]{a}$ ，易知 $dω^k$ 也是方程的根。为了同样使用单扩域表示分离域，事先假定 $ω∈F$ ，故 $x^n−a$ 的分裂域为 $F(d)$ 。 $F(d)$ 伽罗瓦群的每个元素由 $\sigma(d)=d\omega^l,(l,n)=1$ 唯一确定，且有到 $Z_n^{+}$ 的单同态映射，所以是一个循环群，这样的扩张称为循环扩张。

把目光专注在根式扩张 $F(d=\sqrt[p]{a})$ 上，以上结论说明，当 $\omega\in F,d\not\in F$ 时 $Gal(F(d)/F)$ 为 p 阶循环群。反之若 $Gal(E)$ 为 $p$ 阶循环群 $⟨σ⟩$ ，取任一 $c∈E−F$ ，记 $c_k=σ^k(c)$ ，构造如下 $d_k$ （式（18））。把它们看成是 $c_0,c_1,\cdots,c_{p-1}$ 的方程组，由于范德蒙行列式（参考线性代数）非零，必有某个 $d=d_k\not\in F$ 。另外可以验证 $\sigma(d^p)=\sigma(d)^p=(\omega^{-1}d)^p=d^p$ ，故由伽罗瓦理论知 $d^p∈F$ ，所以 E 为根式扩张。总结以上便是，若 $ω∈F$ ，则根式扩张等价于 $p$ 阶循环扩张。
$d_k=c_0+c_1\omega^k+c_2\omega^{2k}+\cdots+c_{p-1}\omega^{(p-1)k},\quad k=0,1,\cdots,p-1\tag{18}$

现在就来讨论什么样的多项式是根式可解的，根式可解表示有根式扩张链 $F=F_0\leqslant\cdots\leqslant F_n=K$ 。为了用上伽罗瓦理论，可以将其它根都添加到扩张链中，可以假设 K 已经是伽罗瓦扩张。为了使用上面的结论，令所有根数 $m_k$ 的最小公倍数为 $m$ 且 $m$ 次本原根为 $ω$ ，将链表中的每个扩域进行单扩张 $F'_k=F_k(\omega)$ ，显然 $m_k$ 次本原根也在 F 中。新扩张链（式（19））的每一步都是伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论知所有伽罗瓦群形成一个正规群列。又因为每个伽罗瓦群都是交换群，故 $\text{Gal}(K(\omega),F)$ 为可解群，所以子群 $Gal(E,F)$ 也是可解群。
$F\leqslant F'_0\leqslant F'_1\leqslant\cdots\leqslant F'_n=K(\omega)\tag{19}$

反之若 $Gal(E,F)$ 是可解群，取 $[E:F]$ 次本原根 $ω$ ，由前面的习题知 $Gal(E(ω)/F(ω))$ 是 $Gal(E/F)$ 的子群，故也是可解群。根据伽罗瓦理论知存在 $F(ω)$ 到 $E(ω)$ 伽罗瓦扩张链，每个扩张的伽罗瓦群都是素数阶循环群。再由上面的习题知每个伽罗瓦扩张的阶 $m_k$ 都是 $[E:F]$ 的因子，故 $m_k$ 阶本原根在 $F(ω)$ 中，所以每个扩张为根式扩张。由于 $F(ω)$ 也是根式扩张，故 $E(ω)$ 可由 $F$ 根式扩张而来，所以方程根式可解。

这就得到了伽罗瓦的天才的结论：多项式有根式解的充要条件是，它的伽罗瓦群为可解群。这个结论可以应用到任何一个具体的多项式，但方程的“公式”解其实是讨论参数化的一般多项式 $f(x)$ （式（20）），其中 $t_k$ 是不定元。方程的不变域是 $F=\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)$ ，而我们需要判断 $f(x)$ 在 $F$ 的伽罗瓦群是否可解。由于 $t_k$ 可由 $y_k$ 用基本不等式表示，故分裂域 $F(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 。
$f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+t_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^nt_n,\quad t_k=\sigma_k(y_1,y_2,\cdots,y_n)\tag{20}$
$g(x)=x^n-p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^np_n,\quad p_k=\sigma_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)\tag{21}$

但由于 $y_k$ 的值和相互关系是从 $t_k$ 得来， $f(x)$ 的伽罗瓦群并不好分析。我们更希望 $y_k$ 是独立的不变元，为此我们用不定元 $x_k$ 建立多项式 $g(x)$ （式（21）），其系数 $p_k$ 为 $x_k$ 的基本不等式（pk不是不定元）。同样可有这个方程的不变域为 $\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)$ ，扩域为 $\Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 。可以论证（略去）这两个多项式的伽罗瓦群是同构的（式（22）），而后者同构于 $S_n$ （ $x_k$ 为不定元），所以 $f(x)$ 有 $n$ 个不同的根。再由于 $n⩾5$ 时， $S_n$ 不是可解群，故 $f(x)$ 不能公式求解。
$\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)/\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)\cong \Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)/\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)\tag{22}$