分形理论-世界很神奇

从前有座山,山里有座庙,庙里有两个和尚,一个大和尚,一个小和尚,大和尚给小和尚讲故事。大和尚说:从前有座山,山里有座庙,庙里有两个和尚,一个大和尚,一个小和尚,大和尚给小和尚讲故事,大和尚说:……

有没有一些童年的记忆,甚至有些愤怒的搞笑,这个三天三夜也讲不完的故事,就是我小时候,哥哥常常忽悠我的故事。

你知道吗?这个无聊的故事背后,包含一个伟大的思维模型:

分形理论

什么是分形理论?

简单讲,就是局部与整体的自相似性。

讲复杂点吧,是这样的:

分形,源自拉丁语:frāctus,有“零碎”、“破裂”之意,又称碎形、残形,通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状”,即具有自相似的性质。

1982 年曼德博提出了更正式的定义:

“分形是一种其豪斯多夫维数严格大于拓扑维数的集合”。

后来他认为这种定义过于严格,于是简化并扩展了这个定义:

“分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形。”

又过了一段时间,曼德博决定使用以下方式来描述分形:

“...在研究和使用分形 时,不需要迂腐的定义。用分形维数 作为描述各种不同分型的通用术语”

为什么要讲复杂点呢?

因为分形其实比你想象中更复杂,更难。

分形有哪些例子呢?

先看看生活中,有哪些例子:

如果你有有散步习惯,看看小区的树,是否有分形相似。


树形分形模拟

我自己随处拍了几张


看看这棵树,像吗?


该植物整体样子


我拍的一只


该树的分叉口


该树下一个分叉口

典型的分形特征

自然界里一定程度上类似分形的事物还有云、山脉、闪电、海岸线、雪片、植物根、多种蔬菜(如花椰菜和西兰花)和动物的毛皮的图案等等。

除了真实自然界外,在数学领域,用递归法,利用计算机技术,可以做出很多分形图形。

下面我们看非常出名的龙之图形:

首先,我们先选取一条线段作为最初的图形P(0)。然后我们把这个图形做两个形变:第一,沿着中线对折,成为直角折线,第二,将这个直角折线拉伸,使其两个端点距离与最初线段长度相等。经过这两个形变之后,它成为第二个图形P(1)。然后我们对P(2)中的每一条直线段也做同样的形变,并不断重复。

第一个阶段

我们来看看这种对一个线段进行简单的拉伸和弯折两个动作的变换最终会形成什么样的图形,第五张照片是这样的:


第五张图片

第8张图片


第8张图片

第11张图片

第11张图片

第13张图片

第13张图片

经过多次迭代变形,最终图形

多次迭代变形

这个图形数学家把它叫做Dragon’s Curve (龙之曲线),据说是因为它外形像一只龙。不管你信不信,反正我信了。类似的分形非常之多,并且其中不乏绚丽多彩的。

比如曼德博的上帝的指纹


全图


方框内1倍


上一图方框6倍


上一图方框100倍


上一图方框2000倍

是不是很神奇,局部与整体自相似性

科赫雪花


要做出科赫雪花,将正三角形每边中央三分之一的线段以一对同长的线段取代,形成一个等腰的“凸角”。再对上一步骤所形成的每一边做同样的动作。每一次迭代,总长度增加三分之一。科赫雪花即是无限次迭代的结果,有无限长的周界,但其面积还是有限的。因此,科赫雪花和其他相似构造有时会被称为“怪兽曲线”。



谢尔宾斯基三角形的动画表示,只显示出无限递回的最初九次。


谢尔宾斯基三角形可演化成树形



门格海绵


谢尔宾斯基地毯

除此之外,还有很多,如:康托尔集,皮亚诺曲线等等。

分形图形,生活中和数学上有很多,大体可分为三类。

分形图形分类

精确自相似:

这是最强的一种自相似,分形在任一尺度下都显得一样。由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。

半自相似:

这是一种较松的自相似,分形在不同尺度下会显得大略(但非精确)相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似,但不会是精确自相似。

统计自相似:

这是最弱的一种自相似,这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度。大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似(分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度)。随机分形是统计自相似,但非精确及半自相似的分形的一个例子。

概括起来,分形图形有如下特点

分形特点

①在任意小的尺度上都能有精细的结构;

②太不规则,以至无论是其整体或局部都难以用传统欧氏几何的语言来描述;

③具有(至少是近似的或统计的)自相似形式;

④一般地,其“分形维数”(通常为豪斯多夫维数)会大于拓扑维数;

⑤在多数情况下有着简单的递归定义。

分形理论启发

分形理论,严格来说,属于数学学科研究范畴,但在生活中也有很多类似案例,具备半相似性和统计相似性,因此可以指导我们思考问题和认识世界。

①股票的分形相似

如果研究股票k线图,仔细观察月k线,周k线,日k线,小时k线,分钟k线,你会发现其具有分形相似,如果能把握好,可以指导炒股票。

②海岸线有多长

我们上学的时候都学过,我国的海岸线全长约1.8万公里(北起鸭绿江口,南止北仓河口)。这个长度是以1公里长的标尺测量得到的。然而如果我们采用短些的标尺,例如1 厘米长的标尺,则测得海岸线长度为381.2万公里,这是地理书上给出长度的212倍。如果我们再细分,估计会得到更长海岸线。

正如1967年Mandelbrot就提出“英国的海岸线有多长?”的问题一样,按照分形理论和无限细分法,海岸线是无限长的。

③人生的分形

看分形理论时,我突然想到,每个人的一生是否可以分形到每年每月每日,答案是肯定的。

从七八岁开始,如果你的性格确定,你的大致行为方式确定,你的一生过得非常相似,一天一年是你一生的局部缩影,具有自相似性。

反过来,你希望一生有收获,一年有进步,你需要做的就是每一天把时间充分利用好。你每一天的生活工作学习状态,其实就是一年的分形状态。

生活很多变,人生很复杂,但一切的复杂都源于简单。利用分形理论,化繁为简,你只需要过好你每一天,过好每一天的标准很简单,就是这一天的时间,你是否做了最科学最合理最充实的安排。


回到文章开端,从前有座山,山里有个庙……

其实,这个故事,就是人生分形的缩影,看起来无聊,却真切的反映出人生的分形和无穷无尽,描述了无数大众人生的轮回转换,最简单的故事中,蕴含着最真切的道理。