要点
- 递归式T(n)求解
- 代换法*
- 迭代法*
- 递归树
- 主定理 Master (core)
- 分治策略
- Insert Sort 插入排序 VS Merge Sort 归并排序
- 最大子数组
- 矩阵Strassen乘法(*)
- 多数问题 Majority Problem
复习
- 输入规模: 假设输入了一个大小为n的十进制数, 在计算机中所占用的x位, 即2^x = n
因此, 占用内存位数x (单位: bit) = lgn (bit)
因此, 我们一般都说大小为n的十进制数的在计算机中表现为C*lgn个bit 输入规模 (C = Constant)
递归式求解
- 代换法: 猜; 猜了以后用数学归纳法证明;
- 猜测T(n) = nlgn + n;
- 假设T(k) = k*logk + k; (k<n就可以)
- 验证T(n) 状况, 代入T(n) = 2T(n/2)+n来求解;
- 例题2: Tn=T(n/2)up+T(n/2)down +1 (为什么这里不能丢掉1? 因为下面的要求!)
- 避免陷阱: 数学归纳法的原理是推理链条, 小项目会累积, 必须严格证明, 不能丢掉低阶级项目;
- 变量替换: sqrt(n) 用m替换; 形式上更容易求解;
- 对更小的值做更强的假设;
- 迭代法
- 不断地把递归式子展开, 对各个展开项目求和, 迭代法对代数能力要求较高;
- 难点: 迭代次数求解, 级数求和;
- 弄明白一个除以2, 一个加1的关系;
- 递归树方法
- 主方法
- T(n) = a*T(n/b) + f(n);
- 注意n*logn和n^1.0001对比仍然是后者大
分治算法
备注: 实际C语言中数组下标为a[0]~a[length-1], pseudo code里面我们按照日常习惯, 从1~length
注: 插入排序不是分治算法, 只是这里一起写, 和merge-sort做比较.
Insert-Sort()
for i = 2 to A.length
key = A[i] //insert key to sequence A[1~i-1]
j = i-1
while j>0 && A[j]>key
A[j+1] = A[j] //把值向后移动一位
j--
A[j+1] = key //当发生A[j]<=key的时候, 让key的值占据A[j+1]位置, 注意A[j+2]已经安全存好了原先A[j+1]的值
最典型的Divide and Conquer: Merge Sort
//@p: prior;
//@r: rear;
Merge-Sort(A, p, r)
if p<r //when p == r, the following lines will not execute
q = floor((p+r)/2)
Merge-Sort(A, p, q)
Merge-Sort(A, q+1, r)
Merge(A, p, q, r)
Merge(A, p, q, r) {
n1 = q-p+1
n2 = r-q
let L[n1+1] and R[n2+1] be new arrays
for (i = 1 to n1)
L[i] = A[p-1+i]
for (j = 1 to n2)
R[j] = A[q+j]
L[n1+1] = 99999 //代表无穷大的哨兵牌, 最后不输出
L[n2+2] = 99999
i = 1, j = 1
for (k=p to r)
if (L[i]<R[j])
A[k] = L[i]
i++
else
A[k] = R[j]
j++
}
时间复杂度分析:
(1)写出递归式: T(n) = 2T(n/2)+Θ(n)
(2)使用主定理: 计算n^log(b下a上) = n = f(n) , 所以T(n) = nlgn
- 最大子数组;
/*主算法: 找最大子数组*/
//low表示左边端点, high右侧端点, A是数组
Find-Maximum-SubArray(A, low, high)
if (low == high)
return (low, high, A[low])
mid = floor((low+high) / 2) //下中位数
(left-low, left-high, left-sum) = Find-Maximum-SubArray(A, low, mid)
(right-low, right-high, right-sum) = Find-Maximum-SubArray(A, mid+1, high) //记得是[mid+1, high] 左侧端点要mid+1
(cross-low, cross-high, cross-sum) = Find-Max-Crossing-SubArray(A, low, mid, high)
if (left-sum>right-sum and left-sum>cross-sum)
return (left-low, left-high, left-sum)
else if (right-sum>left-sum and right-sum>cross-sum)
return (right-low, right-high, right-sum)
else
return (cross-low, cross-high, cross-sum)
/*辅助算法: 找跨越中点数的最大子数组*/
Find-Max-Crossing-SubArray(A, low, mid, high)
left-sum = -9999
sum = 0
for (i=mid; i>=low; i--)
sum = sum+A[i]
if (sum > left-sum)
left-sum = sum
max-left = i
right-sum = -9999
sum = 0
for (i=mid+1; i<=high; i+)
sum = sum+A[i]
if (sum > right-sum)
right-sum = sum
max-right = i
return (max-left, max-right, (left-sum+right-sum) )
时间复杂度分析: (分治类常用)
(1)写出递归式: T(n) = T(n/2) + T(n/2) + Θ(n) + Θ(1) = 2T(n/2) + Θ(n)
(2)使用主定理: n^(log(b下a上)) = n = f(n) , 所以T(n) = Θ(nlgn)
- 多数问题;
- 矩阵Strassen*
===========作业===========
- majority
- 3-4 助教题目
- 上机题 做最大子数组(分治)
- 递归的主定理的证明, 要搞明白怎么用怎么来的;
