叉乘的反对称矩阵

反对称矩阵的引入

假设有向量
$a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}$
$b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix}$
对向量做叉乘

image.png

根据上图，

a=a_1i+a_2j+a_3k

b=b_1i+b_2j+b_3k

且有 $i\times j=k,j\times k=i,k\times i =j$
反之 $j\times i=-k,k\times j=-i,i\times k =-j$
任意的 $i\times i=j\times j=k\times k =0$

$a\times b=(a_1i+a_2j+a_3k)\times (b_1i+b_2j+b_3k)$
$=a_1b_1i\times i+a_2b_2j\times j+a_3b_3k\times k$
$+a_1b_2i\times j+a_1b_3i\times k$
$+a_2b_1j\times i+a_2b_3j\times k$
$+a_3b_1k\times i+a_3b_2k\times j$
$=0+a_1b_2k-a_1b_3j-a_2b_1k+a_2b_3i+a_3b_1j-a_3b_2i$
$=(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k$
$=\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}$
如果写成把 $b$ 向量保持不变
可以写成如下形式
$a\times b=\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}$

此时可以定义运算
$a\times=\begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix}$
这称之为向量的反对称矩阵

反对称矩阵的性质

在李代数中
$a\times$ 也用 $a^{\wedge}$ 表示
反对称矩阵有一些基本的性质
$aa^{T}=a^{\wedge}a^{\wedge}+||a||^2I_{3\times3}$ $------（1）$
当 $a$ 是单位向量的时候，有
$aa^T=a^{\wedge}a^{\wedge}+I$ $------（2）$
以及
$a^{\wedge}a^{\wedge}a^{\wedge}=-a^{\wedge}$ $------（3）$

证明过程

$aa^{T}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1a_1&a_1a_2&a_1a_3\\a_2a_1&a_2a_2&a_2a_3\\a_3a_1&a_3a_2&a_3a_3\end{bmatrix}$

$a^{\wedge}a^{\wedge}=\begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} -a_3^2-a_2^2&a_1a_2&a_1a_3\\ a_1a_2&-a_3^2-a_1^2&a_2a_3\\ a_1a_3&a_2a_3&-a_2^2-a_1^2 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} a_1a_1&a_1a_2&a_1a_3\\ a_1a_2&a_2a_2&a_2a_3\\ a_1a_3&a_2a_3&a_3a_3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -a_3^2-a_2^2-a_1^2&0&0\\ 0&-a_3^2-a_1^2-a_2^2&0\\ 0&0&-a_2^2-a_1^2-a_3^2 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} a_1a_1&a_1a_2&a_1a_3\\ a_1a_2&a_2a_2&a_2a_3\\ a_1a_3&a_2a_3&a_3a_3 \end{bmatrix}-||a||^2\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

$=aa^T-||a||^2I$
当 $a$ 为单位向量时候
$a^{\wedge}a^{\wedge}=aa^T-I$

$a^{\wedge}a^{\wedge}a^{\wedge}=a^{\wedge}aa^T-||a||^2a^{\wedge}$

$=\begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1a_1&a_1a_2&a_1a_3\\ a_1a_2&a_2a_2&a_2a_3\\ a_1a_3&a_2a_3&a_3a_3 \end{bmatrix}-||a||^2a^{\wedge}$

$=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}-||a||^2a^{\wedge}$

$=-||a||^2a^{\wedge}$
当 $a$ 为单位向量时候
$a^{\wedge}a^{\wedge}a^{\wedge}=-a^{\wedge}$

最后编辑于：2022.07.20 16:02:45

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 160,026评论 4赞 364
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 67,655评论 1赞 296
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 109,726评论 0赞 244
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 44,204评论 0赞 213
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 52,558评论 3赞 287
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 40,731评论 1赞 222
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 31,944评论 2赞 314
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 30,698评论 0赞 203
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 34,438评论 1赞 246
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 30,633评论 2赞 247
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 32,125评论 1赞 260
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 28,444评论 3赞 255
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 33,137评论 3赞 238
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 26,103评论 0赞 8
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 26,888评论 0赞 197
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 35,772评论 2赞 276
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 35,669评论 2赞 271

叉乘的反对称矩阵

反对称矩阵的引入

反对称矩阵的性质

推荐阅读更多精彩内容