方差分析
以焦虑症治疗为例，现有两种治疗方案：认知行为疗法（CBT）和眼动脱敏再加工法（EMDR）。我们招募10位焦虑症患者作为志愿者，随机分配一半的人接受为期五周/六个月的CBT，另外一半接受为期五周/六个月的EMDR。在治疗结束时，要求每位患者都填写状态特质焦虑问卷（STAI），也就是一份焦虑度测量的自我评测报告。方差分析主要通过F检验来进行效果评测。现假设你对治疗方案差异和它随时间的改变都感兴趣，则将两个设计结合起来即可：随机分配五位患者到CBT，另外五位到EMDR，在五周和六个月后分别评价他们的STAI结果
一些常用术语
STAI是因变量，治疗方案是自变量；由于在每种治疗方案下观测数相等，因此这种设计也称为均衡设计；若观测数不同，则称作非均衡设计；现在假设我们只关注治疗方案的效果，这就是典型的单因素方差分析；另一种假设是你只对CBT的效果感兴趣，则需将10个患者都放在CBT组中，然后在治疗五周和六个月后分别评价疗效，此时，时间（time）是两水平（五周、六个月）的组内因子。因为每位患者在所有水平下都进行了测量，所以这种统计设计称单因素组内方差分析；又由于每个受试者都不止一次被测量，也称作重复测量方差分析；假设你对治疗方案差异和它随时间的改变都感兴趣，则将两个设计结合起来即可：随机分配五位患者到CBT，另外五位分配到EMDR，在五周和六个月后分别评价他们的STAI结果，这就是双因素方差分析；在这里疗法和时间都作为因子时，我们既可分析疗法的影响（时间跨度上的平均）和时间的影响（疗法类型跨度上的平均），又可分析疗法和时间的交互影响。前两个称作主效应，交互部分称作交互效应。若因子设计包括组内和组间因子，又称作混合模型方差分析。
本例中，你将做三次F检验：疗法因素一次，时间因素一次，两者交互因素一次。若疗法结果显著，说明CBT和EMDR对焦虑症的治疗效果不同；若时间结果显著，说明焦虑度从五周到六个月发生了变化；若两者交互效应显著，说明两种疗法随着时间变化对焦虑症治疗影响不同（也就是说，焦虑度从五周到六个月的改变程度在两种疗法间是不同的）。
现在，我们对上面的实验设计稍微做些扩展。众所周知，抑郁症对病症治疗有影响，而且抑郁症和焦虑症常常同时出现。即使受试者被随机分配到不同的治疗方案中，在研究开始时，两组疗法中的患者抑郁水平就可能不同，任何治疗后的差异都有可能是最初的抑郁水平不同导致的，而不是由于实验的操作问题。抑郁症也可以解释因变量的组间差异，因此它常称为混淆因素。由于你对抑郁症不感兴趣，它也被称作干扰变数。
假设招募患者时使用抑郁症的自我评测报告，比如白氏抑郁症量表（BDI），记录了他们的抑郁水平，那么你可以在评测疗法类型的影响前，对任何抑郁水平的组间差异进行统计性调整。本案例中，BDI为协变量，该设计为协方差分析（ANCOVA）。
以上设计只记录了单个因变量情况（STAI），为增强研究的有效性，可以对焦虑症进行其他的测量（比如家庭评分、医师评分，以及焦虑症对日常行为的影响评价）。当因变量不止一个时，设计被称作多元方差分析（MANOVA）， 若协变量也存在， 那么就叫多元协方差分析（MANCOVA）。
当前的例子就是典型的双因素(治疗方案/时间)混合模型(组内/组间)方差分析。
样本大小越不平衡，效应项的顺序对结果的影响越大。一般来说，越基础性的效应越需要放在表达式前面。具体来讲，首先是协变量，然后是主效应，接着是双因素的交互项，再接着是三因素的交互项，以此类推。对于主效应，越基础性的变量越应放在表达式前面。有一个基本的准则：若研究设计不是正交的（也就是说，因子和/或协变量相关），一定要谨慎设置效应的顺序。
单因素方差分析
单因素方差分析中，你感兴趣的是比较分类因子定义的两个或多个组别中的因变量均值。
使用场景：
- 因素(自变量)A：定类数据(分类因素)，可以是二分类也可以是多分类
- 因变量y：定量数据，连续的等距或等比数据，且数据无界
fit <- aov(y ~ A)
评估检验的假设条件
正态性检验，方差齐性检验
# 正态性检验
shapiro.test(x)
# 方差齐性检验
bartlett.test(y~ A, data=data)
多重比较
虽然ANOVA可以表明组件差异是否显著，但是并没有告诉你具体哪两组之间存在不同。多重比较可以解决这个问题。例如，TukeyHSD()函数提供了对各组均值差异的成对检验
TukeyHSD(fit)
单因素协方差分析
单因素协方差分析（ANCOVA）扩展了单因素方差分析（ANOVA），包含一个或多个定量的协变量。在我们的研究中经常会出现除了关注的自变量和因变量，还有一些其他的因素也会影响因变量，但我们又不想考虑他们，这个时候就需要借助协方差分析了。
使用场景：
- 因素(自变量)A：定类数据(分类因素)，可以是二分类也可以是多分类
- 协变量x：定量数据，连续的等距或等比数据，且数据无界
- 因变量y：定量数据，连续的等距或等比数据，且数据无界
fit <- aov(y ~ x + A)
# 使用effects包查看调整的组均值，即去除协变量效应后的组均值
library(effects)
effect("A", fit)
双因素方差分析
在双因素方差分析中，受试者被分配到两因子的交叉类别组中。
使用场景：
- 因素(自变量)B：定类数据(分类因素)，可以是二分类也可以是多分类
- 因素(自变量)A：定类数据(分类因素)，可以是二分类也可以是多分类
- 因变量y：定量数据，连续的等距或等比数据，且数据无界
fit <- aov(y ~ A*B)
重复测量方差分析
所谓重复测量方差分析，即受试者被测量不止一次。
多元方差分析
当因变量（结果变量）不止一个时，可用多元方差分析（MANOVA）对它们同时进行分析。
摘抄自R语言实战(第二版)
