用来理解火墙假说的一个想法是在一个双边黑洞（也就是永恒黑洞）里考虑一个碰撞问题：我们可以认为两个边界是被一个虫洞联通起来，来自两个边界的粒子会在虫洞中发生碰撞。这个碰撞可能是危险的，也可能是温和的。如果是危险的，就可以认为黑洞有火墙。
当虫洞的长度是随时间增加的话，会对进入其中的能量产生红移效应，所以碰撞也是低能温和的。
当虫洞的长度是随时间减小的话，相反地，会对进入其中的能量产生蓝移，导致一个高能危险碰撞。
所以我们可以通过计算长度算符的期望值
来判断火墙是否存在。问题的难点是如何定义黑洞的量子态，还有长度算符？当然在经典层面上，我们可以直接计算虫洞长度，会发现它是随时间增加的。这也启发了复杂度的概念：虽然系统达到了热力学平衡，但是随时间增长的虫洞长度对应了系统量子复杂度的增加。
现在我们要考虑非微扰效应对期望值的贡献，更具体是可考虑higher genus 虫洞的贡献。当虫洞的genus 不为0的时候，就有多个通道来联通两个边界，也就意味着长度算符的意义要发生改变。
可以类比双缝干涉实验。higher genus的情况可以类比打开了多个缝，这样不同的path 要发生相干叠加，从而得到了干涉条纹，即量子化，这意味我们在屏幕上记录的数据其实是离散化的，也就是说我们可以用一组离散的基来描述实验结果。而在只开一个缝的时候，我们没有条纹，所以需要一个连续的基来描述结果。
在JT引力里面的计算情况和这个很类似。当只考虑genus为0的时空的时候，系统的能谱是连续的
但是当我们把所有higher genus的贡献都加进来的时候，能谱就变成离散的了，而且这个能谱很接近一个随机矩阵的能谱。
但是从数学是来讲，这些离散的能谱并不能构成一组完备的基，真正的完备基是连续能谱。有些本征值被去掉了，这些去掉的本征值就对应了null state。在双缝干涉的类比里，这些null state就是相干抵消的态。
因为长度算符在连续能谱的基下是良好的定义的，在离散能谱下就不是好定义的了，一个原因是它的本征态已经不存在了。因为它的本征态理论上来说需要在连续能谱态的线性组合。由于有些态被去掉了，剩下的离散谱是不足以构成长度算符的本征态的。 所以我们只能重新定义长度算符。
我们可以反过来想这个问题，长度算符的本征态在连续能谱下是可以定义的，我们可以继续使用他们来作为一组基，只不过它现在是一组overcomplete的基，正交归一条件已经不满足了(因为正交归一条件是在连续谱中定义的，在离散谱下就不再满足)。一个简单的定义长度算符的办法就是
可以理解为，我们取了一个对角的近似，也就是只考虑对角元。
在这些假设下，文章计算了长度算符的期望值，发现火墙存在的概率几乎是1/2。
