一、概述

• 决策树是机器学习中最基础、应用最广泛的算法模型，常用于解决分类和回归问题。
• 决策树的构建是一种自上而下的递归分裂学习方法，其学习的关键在于如何选择最优划分属性。一般情况下，随着划分过程不断进行，决策树的分支结点所包含的样本会尽可能属于同一类别，即结点的纯度（purity）越来越高。
• 度量样本集合纯度有三种常用的评估准则：ID3、C4.5和CART。本文将从构造、应用和实现三个角度，对比这三种模型的异同点。

二、决策树学习算法

2.1 相亲数据集

2.2 ID3（Iterative Dichotomiser 3）--信息增益

  信息熵（information entropy）是度量样本集合纯度最常用的一种指标。对于样本集合D，类别数为K，信息熵定义为：

  其中，是样本集合D中属于第k(k=1,2,3...K)类的样本子集，表示该子集的元素个数，表示样本集合的元素个数。特征属性A的条件熵H(D|A)定义为：

  其中，表示D中特征A取第i个值的样本子集，表示中属于第k类的样本子集。因此，特征A的信息增益等于两者之差：

  以表2.1中相亲数据为例，该数据包含5个样本集，正样本占比，负样本占比。于是，根据公式计算出根节点的信息熵为：

  然后，计算当前属性集合{年龄，长相，工资，编程}中每个属性的条件熵。以属性“年龄”为例，它有2个可能的取值：{老，年轻}。若使用该属性对D进行划分，则可得到2个子集，分别为：(年龄=老)，(年龄=年轻)。

• 子集包含编号{1}的1个样例，其中正样本占比，负样本占比；
• 子集包含编号{2，3，4，5}的4个样例，其中正样本占比，负样本占比；
  根据公式计算出属性=年龄的条件熵为：
  
  依此类推：
  
  
  
  每个属性对应的信息增益为：
  g(D,年龄)=0.171，g(D,长相)=0.42，g(D,工资)=0.42，g(D,编程)=0.971
    由此可得，特征“编程”的信息增益最大，使用特征“编程”来进行划分所得的纯度提升越大。图2.1给出了基于“编程”对根节点进行划分的结果：
  
  图2.1 基于编程属性对根节点划分
  
    然后，决策树学习算法对每个分支节点做进一步划分。以图2.1中第一个分支节点（编程=会）为例，该节点包含的样本集合有{2，4}两个样本，可用的属性集合有{年龄，长相，工资}，基于计算出各属性的信息增益，继续划分树节点，直到满足停止分裂的条件。
    最后，ID3对取值较多的特征有所偏好，特征取值越多意味着确定性越高，也就是条件熵越小，信息增益越大。如果将前面的编号也作为一个划分属性，其信息增益为0.971，它将产生5个分支，每个分支结点仅包含一个样本，显然这样划分出来的决策树不具备泛化能力，无法对新样本进行有效预测。因此，C4.5对ID3进行优化，通过引入信息增益比，对取值较多的特征进行惩罚，避免出现过拟合的特性，提升决策树的泛化能力。

信息熵和条件熵计算的scala-spark实现：

/**
    * 计算信息熵
    *
    * @param df
    * @param column
    * @return
    */
  def calculate(df: DataFrame, column: String = "label"): Double = {
    val counts = df.select(column).groupBy(column).agg(count(column)).collect().map(row => row.getLong(1))
    val totalCount = counts.sum.toDouble
    if (totalCount == 0) {
      return 0
    }
    counts.map {
      count =>
        var impurity = 0.0
        if (count != 0) {
          val freq = count / totalCount
          impurity -= freq * log2(freq)
        }
        impurity
    }.reduce((v1, v2) => v1 + v2)
  }

  /**
    * 计算每个特征的条件熵
    *
    * @param df
    * @param column
    * @return
    */
  def calculateFeature(df: DataFrame, column: String): Double = {
    val counts = df.select(column).groupBy(column).agg(count(column)).collect()
    val totalCount = counts.map(row => row.getLong(1)).sum.toDouble
    if (totalCount == 0) {
      return 0
    }
    val impurity = counts.map {
      row =>
        val featureValue = row.get(0).toString.toDouble
        val featureCount = row.getLong(1)
        val freq = featureCount / totalCount
        val tmp = df.filter(col(column) === featureValue)
        freq * calculate(tmp, "label")
    }.reduce((v1, v2) => v1 + v2)
    impurity
  }

2.3 C4.5--信息增益比

  特征A对于数据集D的信息增益比定义为：

其中

称为数据集D关于A的取值熵。因此，可以根据上面的公式求出每个特征的取值熵：




最终可计算出各个特征的信息增益比：




通过信息增益比，特征年龄对应的指标上升了，而特征长相和工资有所下降。

2.4 CART--基尼指数（Gini）

  CART决策树使用基尼指数来选择划分属性，Gini描述的是数据的纯度，其定义为：

  其中，是样本集合D中属于第k(k=1,2,3...K)类的样本子集，表示该子集的元素个数，表示样本集合的元素个数。如果所有样本都属于同一个类别，则=，=0，此时impurity最小。CART利用基尼指数构造二叉决策树。如果特征是离散型变量，将样本按特征A的取值切分成两份；如果特征是连续型变量，CART的处理方式和C4.5相同，先将特征值进行升序排序，然后把左边第一个值（index=1）作为一个分类，右边其他值作为另一个分类，计算其Gini指数，然后移动index的位置，直到计算完所有的分类结果，然后选取Gini最小的位置对应的index作为切分点。特征A的Gini指数定义为：

当n=2时，该公式可以简化为：

使用CART分类准则，选取年龄维度，把老作为特征标签，那么年轻就被划分到另外一类

因此，特征编程的Gini指数最小，选择该特征作为最优的切分点。

三、小结

  通过比较ID3、C4.5和CART三种决策树的构造准则，在同一个样本集上，表现出不同的划分行为。

• ID3和C4.5在每个结点上可以产生多个分支，而CART每个结点只会产生两个分支
• C4.5通过引入信息增益比，弥补了ID3在特征取值比较多时，由于过拟合造成泛化能力变弱的缺陷
• ID3只能处理离散型变量，而C4.5和CART可以处理连续型变量
• ID3和C4.5只能用于分类任务，而CART可以用于分类和回归任务

参考文献：
[1]诸葛越，葫芦娃.百面机器学习
[2]周志华.机器学习