1. 线性代数的核心意义

1.1. 提供了⟨种看待世界的抽象视角:万事万物都可以被抽象成某些特征的组合，并在由预置规则定义的框架之下以静态和动态的方式加以观察。

2. 集合

2.1. 定义

是由某些特定对象汇总而成的集体。集合中的元素通常会具有某些共性，因而

可以用这些共性来表示

例子

对于集合 { 苹果，橘子，梨 } 来说， 所有元素的共性是它们都是水果;

对于集合 {牛，马，羊} 来说，所有元素的共性是它们都是动物

数字或符号

“苹果”或是“牛”这样的具体概念显然超出了数学的处理范围，因而集合的元

素需要进行进一步的抽象——用数字或符号来表示

  如此一来，集合的元素既可以是单个的数字或符号，也可以是多个数字或符

  号以某种方式排列形成的组合。

2.2. 标量

在线性代数中，由单独的数 a 构成的元素被称为标量:一个标量 a可以是整数、实数或复数

2.3. 向量

如果多个标量 a1,a2,⋯,an 按一定顺序组成一个序列，这样的元素就被称为向量

显然，向量可以看作标量的扩展。原始的一个数被替代为一组数，从而带来了

维度的增加，给定表示索引的下标才能唯一地确定向量中的元素。

2.4. 矩阵

每个向量都由若干标量构成，如果将向量的所有标量都替换成相同规格的向量，

得到的就是如下的矩阵

描述矩阵的⟨对重要参数是特征值和特征向量，对于给定的矩阵A，假设其特征值为λ，特征向量为 x则它们之间的关系如下:Ax=λx

矩阵不仅能够描述变化，也可以描述参考系本身。

引用网络上一个精当的类比:表达式 Ax 就相当于对向量 x做了一个环境声明，用于度量它的参考系是 A

矩阵特征值和特征向量

  动态意义在于表示了变化的速度和方向

  果把矩阵所代表的变化看作奔跑的人，那么矩阵的特征值就代表了他奔跑的

  速度，特征向量代表了他奔跑的方向

特征值分解

  求解给定矩阵的特征值和特征向量的过程求解给定矩阵的特征值和特征向量

  的过程叫做特征值分解

2.5. 张量

相对于向量，矩阵同样代表了维度的增加，矩阵中的每个元素需要使用两个索

引(而非一个)确定

同理，如果将矩阵中的每个标量元素再替换为向量的话，得到的就是张量。直

观地理解，张量就是高阶的矩阵

如果把三阶魔方的每一个小方块看作一个数，它就是个 3×3×3 的张量，3×3的矩阵则恰是这个魔方的一个面，也就是张量的一个切片。相比于向量和矩阵，张量是更加复杂，直观性也更差的概念。

2.6. 应用

计算机基础条件

向量和矩阵不只是理论上的分析工具，也是计算机工作的基础条件

人类能够感知连续变化的大千世界，可计算机只能处理离散取值的二进制信

息，因而来自模拟世界的信号必须在定义域和值域上同时进行数字化，才能

被计算机存储和处理。

 线性代数是用虚拟数字世界表示真实物理世界的工具。

  计算机存储

  标量占据的是零维数组;向量占据的是一维数组，

  例如语音信号;矩阵占据的是二维数组，例如灰度图像;张量占据的是三维

乃至更高维度的数组，例如 RGB 图像和视频。

向量的实质是 n 维线性空间中的静止点(向量)矩阵的特征值和特征向量描述了变化的速度与方向。(矩阵)

3. 特定的数学语言

3.1. 范数

它常常被用来度量某个向量空间(或矩阵)中的每个向量的长度或大小。

L1范数计算的是向量所有元素绝对值的和，L2范数计算的是通常意义上的向量长度，

L∞ 范数计算的则是向量中最大元素的取值3.2. 内积

范数计算的是单个向量的尺度，内积计算的则是两个向量之间的关系。

两个相同维数向量内积的表达式为⟨x,y⟨=∑ixi⋅yi=x·y=x1y1+x2y2+......+xnyn

在二维空间上，这意味着两个向量的夹角为 90度，即相互垂直。而在高维空间上，这种关系被称为正交。如果两个向量正交，说明他们线性无关，相互独立，互不影响。

内积能够表示两个向量之间的相对位置，即向量之间的夹角。一种特殊的情况

是内积为 0，即 ⟨x,y⟨=0

3.3. 线性空间

如果有一个集合，它的元素都是具有相同维数的向量(可以是有限个或无限个)

并且定义了加法和数乘等结构化的运算，这样的集合就被称为线性空间

在线性空间中，任意一个向量代表的都是 n 维空间中的一个点;反过来，

空间中的任意点也都可以唯一地用一个向量表示。两者相互等效。

线性空间中，变化的实现有两种方式:

一是点本身的变化

在第一种方式中，使某个点发生变化的方法是用代表变化的矩阵乘以代表

对象的向量

二是参考系的变化

可是反过来，如果保持点不变，而是换一种观察的角度，得到的也将是不

同的结果，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。

在这种情况下，矩阵的作用就是对正交基进行变换。因此，对于矩阵和向

量的相乘，就存在不同的解读方式:Ax=y

表达式既可以理解为向量 x 经过矩阵 A 所描述的变换，变成了向量 y;

也可以理解为一个对象在坐标系 A 的度量下得到的结果为向量 x

3.4. 内积空间

定义了内积运算的线性空间则被称为内积空间

3.5. 正交基

在线性代数中，一个内积空间的正交基(orthogonal

basis)是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量

范数和内积能够处理这些表示特征的数学模型，进而提取出原始对象或原始行为

中的隐含关系。(范数, 内积)

线性变换描述了向量或者作为参考系的坐标系的变化，可以用矩阵表示(线性空

间)