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目录
- 何谓进制
- 为何有二进制、十进制、十六进制
- 进制的表示
- 进制间的转化
1.何谓进制
遥想远古时期，我们的祖先还在与野兽搏斗，那时候部落的族长希望知道目前收货了多少条鱼。但是如何衡量鱼的数目呢？ 于是便有了数字，1代表1条鱼，2代表2条鱼，...，n代表n条鱼。当部落族长收货了100条鱼时，犯愁了，怎么因为100个符号的特别不好记忆，而且万一收货了1000条鱼怎么办？难道要记住1000个符号么？于是部落族长想到了一个绝妙的主意，即从1开始数起，数到10的时候，便写两个数字，用1,0的组合代表着10条鱼，那么当出现20条鱼时，就写20，当100条鱼时候，便写100，于是尽管大家都只知道10个数字，但是却可以表示无穷无尽的数。我们称这种表示方法为进制。
2.为何有二进制、十进制、十六进制
先谈谈十进制，由于大多数人类天生有10个指头，每个指头代表一个数，这极大的方便了部落的族人们学习数数，就像小时候家长们常说，算不清楚就数自己的指头。于是乎大家天生的亲热十进制，这大概也是十进制的来由。
为什么二进制，这就不得不提到计算机了，由于10机制有10种不同的状态，对于我们的手而言这当然可以，但是对于元器件而言，要表示10种状态则显得非常的困难，难以稳定表示。而想要元器件稳定的输出，最好的方式就是表示两种状态，开关，大小...，于是乎大家开始关注二进制。
那么为什么要16进制呢？
首先要知道为什么1个byte有8个bit
- 首先大家应该知道byte是什么，byte是计算机最小可寻址单元。也就是计算器每次获取数据不是一个bit一个bit获取，而是一次获取一个byte对应的bit。
- 那么为什么不是1个byte对应1个bit，或者说为什么byte是最小寻址单元而不是bit？因为一个bit表示范围只有0和1实在太有限，几乎没有作用，计算机出于寻址的性能考虑，大部分场景下，所需要获取的数据都需要一个组合的bit来表示。
- 那么为什么一个byte对应8个bit呢？大家知道计算机是来自图灵机，也就是图灵发明，也就是英国人发明。那么对于英语而言，当时最好的编码方式当然是ascii，ascii总计128个，可以用7个bit位表示出来，但是出于推广(欧洲不止有英语，还有如法语等需要256位才能表示，即iso-8859-1)所以，现代计算机中一个byte有8个bit。
综上所述：一个byte对应多个bit是为了性能，而对应8bit其实是为了更好的编码。毕竟对于当时的计算机而言，最重要的是显示文字。
那么为什么要用16进制呢？
8个bit可以表示256个数，很显然正常人难以记录256个字符。
这种情况下，我们当然希望把8个bit拆开表示，而用二进制来表示很显然非常的冗余，而用3进制或者5进制表示的话，比如表示一个byte，很显然3进制需要3个字符才能表示，比较多余，5进制尽管只用2个字符表示，但是非常第二个字符必须做限制，这当然不方便我们，所以只有4进制刚好符合要求，只需要2个字节，且第二个字符不需要做任何限制。
最后我们在理解一次进制，一个真值可以有无数种进制，而进制只是表示真值的一种方式。
3. 位值制
我们表示数的方法通常是:
而一个十进制则可以表示为：
这里我们给数下个定义：
- 基数： 在这里，10就是基数，代表其中总共包含10个不同数的符号，所谓的几进制，其实就是基数进制。
- 位权：在这里 10n就是权，代表着这个位置的单位值.。
- 位值：也就是在某个位置上的值如 dn
4.进制间的转化
进制转换始终要理解一点：进制再怎么变，我们都假设真值不变。
1.按权展开相加法
通常来说，我们人类习惯10进制相加，所以这种方法通常用于整数和小数其他进制转换成十进制。
二进制转换十进制：
1101 => 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0
=> 8 + 4 + 1
=> 13
十六进制转换十进制：
0XD7 =>13 * 16^1 + 7 * 16^0
=>215
2.除基取余法
适用于整数10进制转其他进制。
10进制转2进制：
想想为什么要这么做？
还是那句话，直值不变。
真值不变，那么说明10进制数一定对应着某个2进制数，那么我们只要拿到每一位对应的值就好了。如何拿到呢？（如何符合人类的方法拿到）
我们可以把整数看成：didi-1...d0
我们如何获得d0呢？
我们除以基数就好，其余数就是d0，此时整数向右移动一位。
如果想获取d1呢？我们再次除以基数，其余数为d1以此类推，当没有数可以除时，也就是最后移位了。
那么推广一下：
当我们除以n次基数时，相当于整个数向右移n位，移出来的数(余数)就是n-1位的位值。
可以看出除基取余法的本质就是，通过右移把数一个个拿出来
所以10进制转16进制就是不断的除以16，把余数转化16进制就好。
3.当位权间存在基数倍关系
如2进制转4进制，4进制转2进制。
2进制转8进制，8进制转2进制。
4进制转16进制，16进制转4进制。
2进制转16进制，16进制转2进制。
....
以上的情况，都可以直接用几位低进制来表示高进制。直接转化。
适用于整数和小数的间存在权的倍数的进制转换。
（非常难过，市面上的资料都是讲怎么记住，而没有一个人用数学公式来推导这个过程，我只想对着那些写书教授竖起中指。）
由于数学太弱，就不说了。纯粹当记忆记吧。
2进制转16进制，以及16进制转2进制，都可以用以上办法来做，记住4位2进制抵1位16进制即可。
4.小数的进制转换
我们知道正整数最小为1，每个进制的字符集都包含表示1的字符，所以不可能存在进度丢失问题。
而小数的最小正数是多少呢？显然无法确定。
所以可以明确，当进制转换时小数可能存在精度丢失问题。
那么小数如何表示？
d1 * b-1 + d2 * b-2 + ... + dn * b-n
复习下指数知识:
mn = m * m * ... *m; (n个m相乘)
ma / mb = m a-b
当a<b时，a-b即为负数，也就是说 ma-b = 1/m|a-b|
由此我们可以得出小数的表示：
d1 * (1/b1) + d2 * (1/b2) + ... + dn * (1/bn) (b为基数，d属于b中数)
可见，b进制最大的正小数为 1/b1
那么改如何进行小数的进制转换呢？
首先 除基取余法 肯定不行，除基取余法的本质是通过右移拿数，而我们得出结论，小数可能存在无限位的小数，所以右移肯定行不通。那么我们不如左移。
由此引入乘基取整法
而乘基取整法的本质就是把数往左移。如10进制0.2 ，我们左移一位整数位为2，且小数位为0，说明改数为: 2 * 10-1
我们可以推广，当左移N位数时，得到的数为：
dn * b-n (b为基数，b包含全部d)
由此我们得到 小数10进制转换2进制和16进制的方法
即：把小数乘以基数，取其整数，其整数代表 dn * b-n ，循环往复，直至小数位为0 或精度已经足够。
