杂 - 简书

独立和不相关

独立与不相关是一个随机过程中随机变量可能具有的两个特性。

这里先给出两者关系定义：

若独立则必然不相关，即有独立 $\rightarrow$ 不相关（条件符号不可反）

若不相关则不一定独立

形象理解

理解：

对于二维坐标来说，如果x与y独立那么就是即便知道了x，任何时候无法确定y，而不相关则不是这样。

在圆中均匀分布了无数个点，无法得出x与y互相变化影响的具体关系，则他们是不相关的，但不能说是独立的，因为如果有点x值为1，那么可以确定其y值为0，而一旦有这种情况发生，独立性就不成立了。

题目：
设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则（　　）
A．X与Y一定独立
B．(X，Y) 服从二维正态分布
C．X与Y未必独立
D．X+Y服从一维正态分布

解答：

A. 只有当（X，Y）服从二维正态分布时，X与Y不相关⇔X与Y独立，本题仅仅已知X和Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y一定独立，故A错误；
B. 若X和Y都服从正态分布且相互独立，则（X，Y）服从二维正态分布，但题设并不知道X，Y是否独立，故B错误；
C. 由A、B分析可知X与Y未必独立，故C正确；
D. 需要求X与Y相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，故D错误．
故选：C

解析：

本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系。

若X与Y均服从正态分布且相互独立，则（X，Y）服从二维正态分布。

若X与Y均服从正态分布且相互独立，则aX+bY服从一维正态分布。

若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立⇔X与Y不相关。

参考：https://blog.csdn.net/weixin_44344462/article/details/88028363

期望、方差、协方差、相关系数的联系

1、期望：

定义：
设P(x)是一个离散概率分布函数自变量的取值范围。那么其期望为：
$E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} p_{k}$
而若P(x)是一个连续概率分布函数，那么他的期望是： $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x$

性质：
1. 线性运算：
期望服从先行性质，因此线性运算的期望等于期望的线性运算：
$E(a x+b y+c)=a E(x)+b E(y)+c$

我们可以把它推广到任意一般情况：
$E\left(\sum_{k=1}^{n} a_{i}+c\right)=\sum_{k=1}^{n} a_{i} E\left(x_{i}\right)+c$

2. 函数的期望：
设f(x)是x的函数，则f(x)的期望为：
离散： $E(f(x))=\sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) P\left(x_{k}\right)$
连续： $E(f(x))=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) P(x) d x$

3. 乘积的期望:
一般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除非变量相互独立。因此，如果x和y相互独立,则 $E(x y)=E(x) E(y)$

期望的运算构成了统计量的运算基础，因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。

设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质：

1.E(C)=C
2.E(CX)=CE(X)
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4.当X和Y相互独立时，E(XY)=E(X) * E(Y)

性质3和性质4可以推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的情况。

2、方差

定义：

方差是一种特殊的期望，被定义为： $D(x)=E\left((x-E(x))^{2}\right)$

离散型的方差：
$D(x)=E\left((x-E(x))^{2}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-E(x)\right)^{2} P\left(x_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(P_{i} \cdot x_{i}^{2}\right)-E^{2}(x)$
$\quad=E\left(x^{2}\right)-E^{2}(x)$

连续型的方差：
$\left.D(x)=\sigma^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(x))^{2} f(x) d x\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} f(x) d x-E(x)$
$=E\left(x^{2}\right)-E^{2}(x)$

以上两式是一样的，只是写法不同。

证明：由数学期望的性质得:
$D(X)=E\left\{[X-E(X)]^{2}\right\}=E\left\{X^{2}-2 X E(X)+[E(X)]^{2}\right\}$
$=E\left(X^{2}\right)-2 E(X) E(X)+[E(X)]^{2}=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}$

性质：

设C是常数，则D（C）=0
设X是随机变量，C是常数，则有 $D(C X)=C^{2} D(X), D(X+C)=D(X)$
设 X 与 Y 是两个随机变量，则 $D(X \pm Y)=D(X)+D(Y) \pm 2 \operatorname{Cov}(X, Y)$
其中协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$

特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量（相互独立）则
$D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)$

此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。

3、协方差：

$\operatorname{Cov(X,Y)}=E(X-E X)(Y-E Y)=\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N}\left(X_{i}-\bar{X}_{i}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}_{i}\right)$

性质：

Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；

Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；

Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

4、相关系数：

$\rho_{X Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$

5、标准差：

$\sigma_{X}=\sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N}\left(X_{i}-\bar{X}_{i}\right)^{2}}=\sqrt{D(X)}$

参考：https://www.cnblogs.com/jfdwd/p/11274056.html

题目：
设随机变量X和Y的相关系数为0.5，E(X) = E(Y) = 0, E(X^2) = E(Y^2) = 2, 则E[(X +Y)^2] = ( ？)