常见的2D图像变换从原理上讲主要包括基于2×3矩阵的仿射变换和基于3×3矩阵透视变换。
仿射变换
原理
基本的图像变换就是二维坐标的变换：从一种二维坐标(x,y)到另一种二维坐标(u,v)的线性变换：
图像仿射变换公式
如果写成矩阵的形式，就是：
仿射变换矩阵表示
作如下定义：
仿射变换矩阵表示各部分描述
矩阵T(2×3)就称为仿射变换的变换矩阵，R为线性变换矩阵，t为平移矩阵，简单来说，仿射变换就是线性变换+平移。变换后直线依然是直线，平行线依然是平行线，直线间的相对位置关系不变，因此非共线的三个对应点便可确定唯一的一个仿射变换，线性变换4个自由度+平移2个自由度→仿射变换自由度为6。
opencv中实现仿射变换
import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv.imread('drawing.jpg')
rows, cols = img.shape[:2]
# 变换前的三个点
pts1 = np.float32([[50, 65], [150, 65], [210, 210]])
# 变换后的三个点
pts2 = np.float32([[50, 100], [150, 65], [100, 250]])
# 生成变换矩阵
M = cv.getAffineTransform(pts1, pts2)
# 第三个参数为dst的大小
dst = cv.warpAffine(img, M, (cols, rows))
plt.subplot(121), plt.imshow(img), plt.title('input')
plt.subplot(122), plt.imshow(dst), plt.title('output')
plt.show()
实验结果
应用opencv中现成的图像平移、旋转、缩放、翻转
请参考 opencv实现图像几何变换
平移
图解平移
平移就是x和y方向上的直接移动，可以上下/左右移动，自由度为2，变换矩阵可以表示为：
平移变换矩阵表示
旋转
图解旋转
旋转是坐标轴方向饶原点旋转一定的角度θ，自由度为1，不包含平移，如顺时针旋转可以表示为：
旋转变换矩阵表示
翻转
翻转是x或y某个方向或全部方向上取反，自由度为2，比如这里以垂直翻转为例：
垂直翻转变换矩阵表示
刚体变换
旋转+平移也称刚体变换（Rigid Transform），就是说如果图像变换前后两点间的距离仍然保持不变，那么这种变化就称为刚体变换。刚体变换包括了平移、旋转和翻转，自由度为3。由于只是旋转和平移，刚体变换保持了直线间的长度不变，所以也称欧式变换（变化前后保持欧氏距离）。变换矩阵可以表示为：
刚体变换矩阵表示
缩放
图解缩放缩放是x和y方向的尺度（倍数）变换，在有些资料上非等比例的缩放也称为拉伸/挤压，等比例缩放自由度为1，非等比例缩放自由度为2，矩阵可以表示为：
缩放变换矩阵表示
相似变换
相似变换又称缩放旋转，相似变换包含了旋转、等比例缩放和平移等变换，自由度为4。在OpenCV中，旋转就是用相似变换实现的：
若缩放比例为scale，旋转角度为θ，旋转中心是(centerx,centery)，则仿射变换可以表示为：
相似变换矩阵表示
其中：
上述公式中的α和β计算公式
相似变换相比刚体变换加了缩放，所以并不会保持欧氏距离不变，但直线间的夹角依然不变。
透视变换
前面仿射变换后依然是平行四边形，并不能做到任意的变换。
各种透视变换
原理
透视变换（Perspective Transformation）是将二维的图片投影到一个三维视平面上，然后再转换到二维坐标下，所以也称为投影映射（Projective Mapping）。简单来说就是二维→三维→二维的一个过程。
透视变换公式：
透视变换公式
透视变换矩阵表示：
透视变换矩阵表示
仿射变换是透视变换的子集。接下来再通过除以Z轴转换成二维坐标：
透视变换中的三维->二维
透视变换相比仿射变换更加灵活，变换后会产生一个新的四边形，但不一定是平行四边形，所以需要非共线的四个点才能唯一确定，原图中的直线变换后依然是直线。因为四边形包括了所有的平行四边形，所以透视变换包括了所有的仿射变换。
opencv中实现透视变换
OpenCV中首先根据变换前后的四个点用cv.getPerspectiveTransform()生成3×3的变换矩阵，然后再用cv.warpPerspective()进行透视变换。
import numpy as np
import cv2 as cv
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv.imread('card.jpg')
# 原图中卡片的四个角点
pts1 = np.float32([[148, 80], [437, 114], [94, 247], [423, 288]])
# 变换后分别在左上、右上、左下、右下四个点
pts2 = np.float32([[0, 0], [320, 0], [0, 178], [320, 178]])
# 生成透视变换矩阵
M = cv.getPerspectiveTransform(pts1, pts2)
# 进行透视变换，参数3是目标图像大小
dst = cv.warpPerspective(img, M, (320, 178))
plt.subplot(121), plt.imshow(img[:, :, ::-1]), plt.title('input')
plt.subplot(122), plt.imshow(dst[:, :, ::-1]), plt.title('output')
plt.show()
实验结果
总结
图解图像各种变换
图解图像各种变换
图像仿射变换和透视变换性质总结
