从零开始养成算法·篇十九：查找算法

查找是在大量的信息中寻找一个特定的信息元素，在计算机应用中，查找是常用的基本运算，例如编译程序中符号表的查找。本文简单概括性的介绍了常见的七种查找算法，说是七种，其实二分查找、插值查找以及斐波那契查找都可以归为一类——插值查找。插值查找和斐波那契查找是在二分查找的基础上的优化查找算法。树表查找和哈希查找会在后续的博文中进行详细介绍。

查找定义：根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。

查找算法分类：
　　1）静态查找和动态查找；
　　　　注：静态或者动态都是针对查找表而言的。动态表指查找表中有删除和插入操作的表。
　　2）无序查找和有序查找。
　　　　无序查找：被查找数列有序无序均可；
　　　　有序查找：被查找数列必须为有序数列。

平均查找长度（Average Search Length，ASL）：需和指定key进行比较的关键字的个数的期望值，称为查找算法在查找成功时的平均查找长度。

对于含有n个数据元素的查找表，查找成功的平均查找长度为：ASL = Pi*Ci的和。
　　Pi：查找表中第i个数据元素的概率。
　　Ci：找到第i个数据元素时已经比较过的次数。

1. 顺序查找

说明：顺序查找适合于存储结构为顺序存储或链接存储的线性表。

基本思想：顺序查找也称为线形查找，属于无序查找算法。从数据结构线形表的一端开始，顺序扫描，依次将扫描到的结点关键字与给定值k相比较，若相等则表示查找成功；若扫描结束仍没有找到关键字等于k的结点，表示查找失败。

复杂度分析：　
　　查找成功时的平均查找长度为：（假设每个数据元素的概率相等） ASL = 1/n(1+2+3+…+n) = (n+1)/2 ;
　　当查找不成功时，需要n+1次比较，时间复杂度为O(n);
　　所以，顺序查找的时间复杂度为O(n)。

$\color{red}{代码示例:}$

int Sequential_Search(int *a,int n,int key){
   for (int i = 1; i <= n ; i++)
       if (a[i] == key)
           return i;
  
   return 0;
}

2. 二分查找

说明：元素必须是有序的，如果是无序的则要先进行排序操作。

基本思想：也称为是折半查找，属于有序查找算法。用给定值k先与中间结点的关键字比较，中间结点把线形表分成两个子表，若相等则查找成功；若不相等，再根据k与该中间结点关键字的比较结果确定下一步查找哪个子表，这样递归进行，直到查找到或查找结束发现表中没有这样的结点。

复杂度分析：最坏情况下，关键词比较次数为log2(n+1)，且期望时间复杂度为O(log2n)；

注：折半查找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，折半查找能得到不错的效率。但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，那就不建议使用。——《大话数据结构》

$\color{red}{代码示例:}$

int Binary_Search(int *a,int n,int key){
   
   int low,high,mid;
   low = 1;
   high = n;
   while (low <= high) {
       
       mid = (low + high) /2;

       if (key < a[mid]) {
           high = mid-1;
       }else if(key > a[mid]){
           low = mid+1;
       }else
           return mid;
   }
   
   return 0;
}

3. 插值查找

在介绍插值查找之前，首先考虑一个新问题，为什么上述算法一定要是折半，而不是折四分之一或者折更多呢？

打个比方，在英文字典里面查“apple”，你下意识翻开字典是翻前面的书页还是后面的书页呢？如果再让你查“zoo”，你又怎么查？很显然，这里你绝对不会是从中间开始查起，而是有一定目的的往前或往后翻。
同样的，比如要在取值范围1 ~ 10000 之间 100 个元素从小到大均匀分布的数组中查找5，我们自然会考虑从数组下标较小的开始查找。
　　经过以上分析，折半查找这种查找方式，不是自适应的（也就是说是傻瓜式的）。二分查找中查找点计算如下：
　　mid=(low+high)/2, 即mid=low+1/2(high-low);
　　通过类比，我们可以将查找的点改进为如下：
　　mid=low+(key-a[low])/(a[high]-a[low])(high-low)，
　　也就是将上述的比例参数1/2改进为自适应的，根据关键字在整个有序表中所处的位置，让mid值的变化更靠近关键字key，这样也就间接地减少了比较次数。

基本思想：基于二分查找算法，将查找点的选择改进为自适应选择，可以提高查找效率。当然，差值查找也属于有序查找。

注：对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，数组中如果分布非常不均匀，那么插值查找未必是很合适的选择。

复杂度分析：查找成功或者失败的时间复杂度均为O(log2(log2n))。

$\color{red}{代码示例:}$

int Interpolation_Search(int *a,int n,int key){
   int low,high,mid;
   low = 1;
   high = n;
   
   while (low <= high) {
       
       mid = low+ (high-low)*(key-a[low])/(a[high]-a[low]);
   
       if (key < a[mid]) {
           high = mid-1;
       }else if(key > a[mid]){
           low = mid+1;
       }else
           return mid;
   }
   
   return 0;
}

4. 斐波那契查找

在介绍斐波那契查找算法之前，我们先介绍一下很它紧密相连并且大家都熟知的一个概念——黄金分割。

黄金比例又称黄金分割，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1:0.618或1.618:1。

0.618被公认为最具有审美意义的比例数字，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。因此被称为黄金分割。

大家记不记得斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（从第三个数开始，后边每一个数都是前两个数的和）。然后我们会发现，随着斐波那契数列的递增，前后两个数的比值会越来越接近0.618，利用这个特性，我们就可以将黄金比例运用到查找技术中。

基本思想：也是二分查找的一种提升算法，通过运用黄金比例的概念在数列中选择查找点进行查找，提高查找效率。同样地，斐波那契查找也属于一种有序查找算法。
　　相对于折半查找，一般将待比较的key值与第mid=（low+high）/2位置的元素比较，比较结果分三种情况：
1）相等，mid位置的元素即为所求
2）大于，low=mid+1;
3）小于，high=mid-1。

斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，及n=F(k)-1;

开始将k值与第F(k-1)位置的记录进行比较(及mid=low+F(k-1)-1),比较结果也分为三种
1）相等，mid位置的元素即为所求
2）大于，low=mid+1,k-=2;

说明：low=mid+1说明待查找的元素在[mid+1,high]范围内，k-=2 说明范围[mid+1,high]内的元素个数为n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。

3）<，high=mid-1,k-=1。

说明：low=mid+1说明待查找的元素在[low,mid-1]范围内，k-=1 说明范围[low,mid-1]内的元素个数为F(k-1)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。

复杂度分析：最坏情况下，时间复杂度为O(log2n)，且其期望复杂度也为O(log2n)。

$\color{red}{代码示例:}$

int Fibonacci_Search(int *a,int n,int key){
 
   int low,high,mid,i,k;
   low = 1;
   high = n;
   k = 0;
   
   while (n > F[k]-1) {
       k++;
   }
   
   for(i = n;i < F[k]-1;i++)
       a[i] = a[n];
   
   while (low <= high) {
       
       mid = low+F[k-1]-1;
       
       if (key < a[mid]) {
           high = mid-1;
           k = k-1;
       }else if(key > a[mid]){
           low = mid+1;
           k = k-2;
           
       }else{
           if (mid <= n) {
               return mid;
           }else
           {
               return n;
           }
       }
   }
   return 0;
}

5. 最简单的树表查找算法——二叉树查找算法

基本思想：二叉查找树是先对待查找的数据进行生成树，确保树的左分支的值小于右分支的值，然后在就行和每个节点的父节点比较大小，查找最适合的范围。这个算法的查找效率很高，但是如果使用这种查找方法要首先创建树。

二叉查找树（BinarySearch Tree，也叫二叉搜索树，或称二叉排序树Binary Sort Tree）或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
1）若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2）若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3）任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

二叉查找树性质：对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。

复杂度分析：它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为O(logn)，但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡（比如，我们查找上图（b）中的“93”，我们需要进行n次查找操作）。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是平衡查找树设计的初衷。

基于二叉查找树进行优化，进而可以得到其他的树表查找算法，如平衡树、红黑树等高效算法。

二叉排序树的查找、插入、删除等操作

$\color{red}{代码示例:}$

//二叉树的二叉链表结点结构定义
//结点结构
typedef  struct BiTNode
{
   //结点数据
   int data;
   //左右孩子指针
   struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;

//1.二叉排序树--查找
/*
递归查找二叉排序树T中,是否存在key;
指针f指向T的双亲,器初始值为NULL;
若查找成功,则指针p指向该数据元素的结点,并且返回TRUE;
若指针p指向查找路径上访问的最后一个结点则返回FALSE;
*/
Status SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f, BiTree *p){
  
   if (!T)    /*  查找不成功 */
   {
       *p = f;
       return FALSE;
   }
   else if (key==T->data) /*  查找成功 */
   {
       *p = T;
       return TRUE;
   }
   else if (key<T->data)
       return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子树中继续查找 */
   else
       return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子树中继续查找 */
}

//2.二叉排序树-插入
/*  当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时， */
/*  插入key并返回TRUE，否则返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key) {
   
   BiTree p,s;
   //1.查找插入的值是否存在二叉树中;查找失败则->
   if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p)) {
       
       //2.初始化结点s,并将key赋值给s,将s的左右孩子结点暂时设置为NULL
       s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
       s->data = key;
       s->lchild = s->rchild = NULL;
       
       //3.
       if (!p) {
           //如果p为空,则将s作为二叉树新的根结点;
           *T = s;
       }else if(key < p->data){
           //如果key<p->data,则将s插入为左孩子;
           p->lchild = s;
       }else
           //如果key>p->data,则将s插入为右孩子;
           p->rchild = s;
       
       return  TRUE;
   }
   
   return FALSE;
}

//3.从二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或者右子树;
Status Delete(BiTree *p){
   
   BiTree temp,s;
   
   
   if((*p)->rchild == NULL){
      
       //情况1: 如果当前删除的结点,右子树为空.那么则只需要重新连接它的左子树;
       //①将结点p临时存储到temp中;
       temp = *p;
       //②将p指向到p的左子树上;
       *p = (*p)->lchild;
       //③释放需要删除的temp结点;
       free(temp);
       
   }else if((*p)->lchild == NULL){
       
       //情况2:如果当前删除的结点,左子树为空.那么则只需要重新连接它的右子树;
       //①将结点p存储到temp中;
       temp = *p;
       //②将p指向到p的右子树上;
       *p = (*p)->rchild;
       //③释放需要删除的temp结点
       free(temp);
   }else{
       
       //情况③:删除的当前结点的左右子树均不为空;
      
       //①将结点p存储到临时变量temp, 并且让结点s指向p的左子树
       temp = *p;
       s = (*p)->lchild;
     
       //②将s指针,向右到尽头(目的是找到待删结点的前驱)
       //-在待删除的结点的左子树中,从右边找到直接前驱
       //-使用`temp`保存好直接前驱的双亲结点
       while (s->rchild) {
           temp = s;
           s = s->rchild;
       }
       
       //③将要删除的结点p数据赋值成s->data;
       (*p)->data = s->data;
       
       //④重连子树
       //-如果temp 不等于p,则将S->lchild 赋值给temp->rchild
       //-如果temp 等于p,则将S->lchild 赋值给temp->lchild
       if(temp != *p)
           temp->rchild = s->lchild;
       else
           temp->lchild = s->lchild;
       
       //⑤删除s指向的结点; free(s)
       free(s);
   }
   
   return  TRUE;
}

//4.查找结点,并将其在二叉排序中删除;
/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */
/* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{
   //不存在关键字等于key的数据元素
   if(!*T)
       return FALSE;
   else
   {
       //找到关键字等于key的数据元素
       if (key==(*T)->data)
           return Delete(T);
       else if (key<(*T)->data)
           //关键字key小于当前结点,则缩小查找范围到它的左子树;
           return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
       else
           //关键字key大于当前结点,则缩小查找范围到它的右子树;
           return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
       
   }
}