2023-07-05 Black-Scholes期权定价模型

前言

本文要求概率论的基础知识，以及基本的微积分作为前置知识。如果读者已经具备了上述条件，应该可以很容易理解BS Model的逻辑。

股价模型

正经的股价模型要从几何布朗运动建模说起。这里我们直接引用其结论。
假设时刻 $0$ 的股价为 $S_0$ ，并且股价的变化符合增长率为 $\mu$ ，方差为 $\sigma$ 的几何布朗运动。
则时刻 $t$ 的股价 $S_t$ 是均值参数为 $\log S_0 + (\mu - {\sigma^2 \over 2})t$ ，方差参数为 $\sigma^2 t$ 的lognormal分布。
也就是:
$\log {S_t \over S_0} \sim N\left((\mu - {\sigma^2 \over 2})t, \sigma^2 t\right)$
注意到，对于该lognormal分布，其期望满足 $E[S_t] = S_0 e^{\mu t}$ 。
这也是为什么 $\mu$ 被称为增长率的原因：通过统计一段时间内股价的平均百分比涨幅，我们就可以得到 $\mu$ 的无偏估计。

风险中性测度下的股价模型

看起来似乎股价的增长率 $\mu$ 好像可以随便设置。但是，如果将一支股票放到一个完全市场/无套利市场中，那么其增长率就要受到限制，否则就会把整个经济体系搞崩。

假如市场是风险中性的，也就是所有人看价值只看期望，风险再高也不管，只要期望意义上收益为正，再假定市场的无风险利率是 $r$ （也就是意味着可以从银行以利率 $r$ 存贷任意额度的货币），那么股价的增长率 $\mu$ 必然等于 $r$ ，否则就会有市场主体通过借款买股票或者卖空存银行来获得无限的收益，也就是产生了套利的可能性。

实际的市场并不是风险中性的，并且股价的增长率也不总是在 $r$ 附近。因此我们需要考虑风险偏好问题。一种处理办法是期望效用理论。也就是我们给市场主体设定一个效用函数 $u(s)$ ，表示拥有 $s$ 的资产对主体产生的实际价值，市场主体总是希望最大化这个实际价值（效用）。

如果某个资产的价值是一个分布，例如未来的股价 $S_t$ ，那么它的总效用就是效用的期望。也就是 $U = E_{S_t}[u(S_t)]$ 。这时候，我们可以找到位于未来无波动的资产 $S_t'$ ，使得其效用与有波动的股价效用相等，也就是 $u(S_t') = E_{S_t}[u(S_t)]$ 。这时候，我们就可以宣称，有波动的股价 $S_t$ 与无波动的股价 $S_t'$ 效用相等。

这里可以给一个只对正资产价值可用的效用函数：log。使用log效用产生的后果就是市场主体总会尝试最优化随机结果的几何平均值 $s' = u^{-1}(E[u(s)]) = \exp\left({\sum \log s_i \over N} \right)$ ，它总是比算术平均值小一些，表征对风险的厌恶。

效用相等的重要结果就是我们可以为未来的股价定价了：无波动的股价折现到当前时间就是那个波动的未来股价的价值： $S_0 = S_t'e^{-rt} = E_{S_t}[u(S_t)]$ 。这里的关键在于未来股价的等效价值折现就应该是当前的股价，否则就存在套利空间，违反我们的假设了。

使用效用函数定价要求我们总是对每一个波动资产单独计算等效的效用，特别麻烦。于是就有人发明了风险中性测度的概念。与通过效用函数修改每个价格上的效用不同，这里我们直接修改了波动资产的概率分布。使得这个概率分布下，波动资产的期望与等效股价相等。也就是 $S_t' = E_{S_t}^Q[S_t]$ ，这个 $Q$ 就表示是使用风险中性概率（也叫风险中性测度）来计算期望。

有了这个工具后，我们就可以不再考虑风险偏好的问题，只要按照风险中性的思路求期望就可以了。那显然我们有 $S_t' = S_0e^{rt} = E_{S_t}^Q[S_t]$ ，也就是未来股价在风险中性测度下的期望应当是当前股价乘以无风险利率增长。可以证明，对于lognormal建模的股价模型，其风险中性概率也是一个lognormal，并且其 $\mu = r$ 。因此，我们就可以直接让 $\mu = r$ 然后不再考虑风险偏好的问题，一切按照期望处理。

总结一下，在一个无套利的市场假设下，考虑了风险偏好后，使用风险中性概率调整股价模型，得到的股价概率分布必然是一个 $\mu = r$ 的lognormal分布。其中 $r$ 是无风险利率。

期权定价

同上上一小节的讨论，我们的主要结论就是 $\mu = r$ 。也就是：
$x_t = \log {S_t \over S_0} \sim N\left((r - {\sigma^2 \over 2})t, \sigma^2 t\right)$
我们再引入变量 $y_t = x_t - (r - {\sigma^2 \over 2})t)$ ，使得 $y_t$ 是一个均值为0的正态分布。

下面考虑在时刻0，对一个到期时间为 $t$ ，行权价为 $K$ 的Call期权（暂定对应1股）进行定价，其价格为 $C$ 。
这个Call在 $t$ 时刻的期望价值是： $E_{S_t}^Q [\max(S_t - K, 0)]$ 。也就是如果股价大于K，则收益为其差值，否则期权价值归零。这里我们使用风险中性测度来求期望，因此才有 $\mu = r$ 。

在无套利市场中，这个期权的价格应当等于其未来价值的折现。也就是：
$C = e^{-rt} E_{S_t}^Q [\max(S_t - K, 0)]$
只要把这个式子解出来，就可以得到期权定价了。下面是具体的推导。

首先直接把期望展开，然后一路将积分变量从 $S_t$ 替换到 $y_t$ ：
$e^{rt} C =\int_{K} f_{S_t}(s)(s - K) ds = \int_{K} f_{S_t}(s) s ds - K \int_{K} f_{S_t}(s) ds \\ = S_0 \int_{\log {K \over S_0}}f_{x_t}(x) e^{x} dx - K \int_{\log {K \over S_0}}f_{x_t}(x) dx \\ = S_0 \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) e^{y + rt - {\sigma^2 \over 2}t} d y - K \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) dy \\ = S_0 e^{rt} \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) e^{y - {\sigma^2 \over 2}t} d y - K \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) dy$
注意到其中有：
$f_{y_t}(y)e^{y - {\sigma^2 \over 2}t} = {1 \over \sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{y^2 \over 2\sigma^2t} + y - {\sigma^2 \over 2}t} = {1 \over \sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{y^2 - y\sigma^2t + \sigma^4t \over 2\sigma^2t}} = {1 \over \sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{(y - \sigma^2t)^2 \over 2\sigma^2t}}$
替换 $z = y - \sigma^2 t$ ，然后利用正态分布概率密度函数的对称性，所以有：
$e^{rt} C = S_0 e^{rt} \int_{\log {K \over S_0} - rt - {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(z) d z - K \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) dy \\ = S_0 e^{rt} \int^{\log {S_0 \over K} + rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(z) d z - K \int^{\log {S_0 \over K} + rt - {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) dy$
上述两个积分项都是关于正态分布概率密度函数的积分，因此可以用正态分布的累计概率分布函数表示。
我们定义 $N(x)$ 为标准正态分布累计概率分布函数。然后方便起见做如下定义：
$K_0 = e^{-rt} K \\ d = {\log {S_0 \over K} + rt \over \sigma \sqrt t} = {\log {S_0 \over Ke^{-rt}} \over \sigma \sqrt t } = {\log {S_0 \over K_0} \over \sigma \sqrt t } \\ d_+ = d + {\sigma\sqrt t \over 2} , \quad d_- = d - {\sigma\sqrt t \over 2}$
然后我们就可以得到:
$C = S_0 N(d_+) + K_0N(d_-) \\ K_0 = e^{-rt} K, \quad d ={\log {S_0 \over K_0} \over \sigma \sqrt t }, \quad d_+ = d + {\sigma\sqrt t \over 2} , \quad d_- = d - {\sigma\sqrt t \over 2}$
至此，我们完成了期权定价的工作。只要已知当前股价 $S_0$ ，股价的波动率参数 $\sigma$ ，Call的到期时间 $t$ ，Call的行权价 $K$ ，无风险利率 $r$ ，我们就可以给出这个Call的价格 $C$ 。

对Put也可以进行类似的推导，Put的价格 $P$ 满足 $P = e^{-rt} E_{S_t}^Q [\max(K - S_t , 0)]$ 。
最终的定价公式为：
$P = K_0 N(-d_-) - S_0 N(- d_+)$

时间价值与内在价值

下面仅针对Call进行考虑，Put可以类似的推理。
首先考虑当 $S_0$ 远大于 $K_0$ 的情况。此时 $d$ 非常大，导致 $N(d_+)$ 和 $N(d_-)$ 都趋近于1，于是有：
$C = S_0 - K_0$
此时股价的波动率带来的价值趋近于0，立即行权于未来行权没有区别（风险偏好已经通过风险中性测度处理）。于是我们将任何时候 $V_C = \max(S_0 - K_0)$ 叫做期权的内在价值，表征波动率影响因素以外期权的价值（当股价小于 $K_0$ 时内在价值就是0）。对应的，剩余部分我们称之为时间价值，它主要由波动率带来： $T_C = C - \max(S_0 - K_0)$ 。

下面我们将说明：时间价值总是大于0，并且在 $S_0 = K_0$ 时达到顶峰。

首先我们考虑期权价格 $C, P$ 相对当前股价 $S_0$ 的导数。在此之前，我们先将期权价格的公式做一个变量替换：
$C = S_0 N(d_+) - K_0N(d_-) = S_0[N(d_+) - {K_0 \over S_0}N(d_-)]\\ C = S_0[N(d_+) - e^{-\sigma\sqrt t d}N(d_-)] \\ P = S_0[e^{-\sigma \sqrt t d}N(-d_-) - N(-d_+)]$

于是，我们可以得到：
${\partial C \over \partial S_0} = N(d_+) - e^{-\sigma\sqrt t d}N(d_-) + S_0[f(d_+) - e^{-\sigma\sqrt t d}f(d_-) + \sigma\sqrt t e^{-\sigma\sqrt t d}N(d_-)] {\partial d \over \partial S_0} = N(d_+) \\ {\partial P \over \partial S_0} = e^{-\sigma \sqrt t d}N(-d_-) - N(-d_+) + S_0[-\sigma\sqrt t e^{-\sigma\sqrt td}N(-d_-) - e^{-\sigma\sqrt td}f(-d_-) + f(-d_+)] {\partial d \over \partial S_0}= -N(-d_+) \\$
上面用到了一个关键的等式： $f(d_+) = e^{-\sigma \sqrt t d} f(d_-)$ ，总的结论就是：
${\partial C \over \partial S_0} = N(d_+), \quad {\partial P \over \partial S_0} = -N(-d_+)$
也就是，期权价格相对于股价 $S_0$ 的变化率绝对值总是小于1的。

而内在价值对股价的导数只有在 $S_0 \ge K_0$ 时才为1，因此时间价值的导数一开始等于 $C$ 的导数（大于0），在股价超过 $K_0$ 后，由于需要减去内在价值的导数，因此变为小于0的负数。
从而我们得到结论：“时间价值在 $S_0 = K_0$ 时达到峰值 ”。

另一方面，在股价远大于 $K_0$ 时，时间价值无限趋近于0（想想我们一开始引入内在价值时的case）。于是我们有：“时间价值总是大于0”。

一些讨论

可以发现，我们对期权的内在价值、时间价值的推演时，使用的变量都是 $K_0 = e^{-rt}K$ 。也就是考虑了折现后的行权价。这点在很多地方都会被忽略，直接使用行权价 $K$ 作为锚点。
通常情况下到期时常 $t$ 很小，对应的无风险利率比较低，忽略是正常的。但是如果考虑以年为单位的期权时，折现的影响无法忽略，需要更严谨的考虑。

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