学习 TLA+ - 基础数学知识

TLA+ 并不是一门很容易掌握的语言,在学习之前,我们需要了解一些简单的数学知识。这里需要注意,为了打字方便,很多数学符号我直接使用了 ASCII 来表示,具体符号与 ASCII 的对应,大家可以参考 TLA+ cheat-sheet

算数

最基本的整数算数运算包含在 TLA+ 的 Integers module 里面,主要就是常用的 +-*^% 这些,还包括 ><>=<= 等。

Integers module 同时定义了:

  • Int:所有整数
  • Nat:所有自然数
  • ..m..n 表示了从 m 到 n 之间的所有整数集合

对于 /,则是在 Real module 里面定义了。Real module 也同时定义了 Real 用来表示所有的实数。

逻辑

在 TLA+ 里面,TRUE 表示真,而 FALSE 则是假。譬如 1 + 1 = 2 的值是 TRUE,而 1 + 1 = 3 的值是 FALSE。

命题逻辑

跟整数有加减乘除运算符一样,布尔也有相关的命题逻辑运算符,我们需要知道如下 5 个:

  • /\:and,当且只有 F 和 G 都等于 TRUE,F /\ G 等于 TRUE
  • \/:or,当且只有 F 或者 G 一个等于 TRUE(或者都为 TRUE),F \/ G 等于 TRUE
  • ~:negation,当且只有 F 等于 FALSE,~F 等于 TRUE
  • =>:implication,当且只有 F 等于 FALSE 或者 G 等于 TRUE(或者 F 和 G 都为 TRUE 或者 FALSE),F => G 等于 TRUE
  • <=>:equivalence,当且只有 F 和 G 都为 TRUE 或者都为 FALSE,F <=> G 等于 TRUE

这里我们可能对 => 的定义感到困惑,为什么只有 F 为 TRUE 并且 G 为 FALSE 的时候 F => G 才为 FALSE,我们可以通过 (n > 5) => (n > 3) 来说明,对于整数 n 来说,如果 n 为 6,n > 5 就是 TRUE,自然 n > 3 也是 TRUE,也就是 (n > 5) 蕴含着 (n > 3),我们可以将 n 设置为 1,4 这些值在自行推导。

谓语逻辑

在命题逻辑基础上,谓语逻辑扩展了两个运算符,我们叫做量词。一个是全称量词 \A,另一个则是存在量词 \E。对于公式 \A x \in S: P(x) 来说,在集合 S 里面所有的 x,P(x) 都必须等于 TRUE,那么该公式值才是 TRUE。而对于 \E x \in S: P(x) 来说,只要 S 里面一个 x 存在 P(x) 等于 TRUE,那么该公式的值就是 TRUE。

CHOOSE

CHOOSE 操作符类似于上面说的 \E。对于公式 \E x \in S : P(x) 来说,如果在集合 S 里面存在一个值 x,满足 P(x) 为 TRUE,那么 CHOOSE x \in S : P(x) 就等于这个值。

当使用 CHOOSE 在集合里面选择了一个值之后,每次执行都会使用这个值,譬如对于 v' = CHOOSE n \in 1..10 : TRUE 来说,我们并不知道 CHOOSE 选择了哪一个值,没准是 1,也没准是 10,但我们能够确定,每次执行都会是这个值。如果我们需要每次使用不同的值,可以通过 \E n \in 1..10 : v' = n 来设置。

集合

集合应该是 TLA+ 的理论基石,一个集合可能含有有限或者无限个数的元素。譬如所有自然数集合就是是一个无穷集合。集合主要有以下操作:

  • \intersect 或者 \cap:两个集合的交集,譬如 {1, 2} \intersect {2, 3} = {2}
  • \union 或者 \cup:两个集合的并集,譬如 {1, 2} \union {2, 3} = {1, 2, 3}
  • \subseteq:一个集合是否是另一个集合的子集,譬如 {1, 3} \subseteq {1, 2, 3} 等于 TRUE
  • \:两个集合的差集,譬如 {1, 2, 3} \ {1, 4} = {2, 3}
  • SUBSET:集合的子集,譬如 {1, 2} 的子集就是 {{}, {1}, {2}, {1, 2}}
  • UNION:集合的并集,譬如 {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}} 的并集就是 {1, 2, 3, 4}
  • Cardinality(S):有限集合 S 中元素的个数
  • IsFiniteSet(S):验证集合 S 是否是有限的还是无限的

这里我们在重点关注两个集合的构造操作符:

  • {x \in S : P(x)}:集合由在 S 中满足 P(x) 为 TRUE 的元素构造,譬如 {n \in Nat : n % 2 = 1} 就返回了一个偶数集合
  • {e(x) : x \in S}:集合由在 S 中元素通过 e(x) 得到新值构造,譬如 {2 * n + 1 : n \in Nat} 就返回了一个奇数集合

函数

TLA+ 里面的函数跟我们程序里面的函数意义是不一样的,反倒有点类似于数组,这点一定要注意。

对于函数,首先我们需要了解的是值域,我们可以认为就是程序语言里面数组的索引集合,譬如对于 tuple(一种特殊的函数来说),DOMAIN <<"a", "b", "c">> 就是一个 1..3 的集合。

如果 f 是一个函数,而 x 是 f 值域里面的一个元素,f[x] 就表示的将 f 应用到 x 上面。对于上面的 tuple,<<"a", "b", "c">>[2] 就会得到 "b",而 <<"a", "b", "c">>[4] 则会报错。

我们可以通过 [x \in S |-> e]构造任意值域的函数,这里仍然先以 tuple 为例, tuple,一种特殊的函数,它的值域就是集合 1..n,n 为 tuple 的个数。譬如 tuple 可以写成 [ i \in 1..3 |-> i - 7],这个就会得到 tuple <<-6, -5, -4>>,然后我们可以使用 <<-6, -5, -4>>[1] 得到 -6 了。

我们再来看一个更通用的例子,[i \in {2, 4, 6, 8} |-> i - 42][4] ,这里我们得到的值是 4 - 42,也就是 38。

当一个函数 f 的值域在 S,并且 f[x] 在集合 T 里面,我们就可以用 [S -> T] 来表示所有这样函数的集合。

我们也可以使用 EXCEPT 来构造另一个函数,对于公式 [f EXCEPT ![e1] = e2] 表示新的函数 f’ 等于 f 除了 f'[e1] = e2。我们也可以使用 @ 来表示 f[e1],譬如 f' = [f EXCEPT ![e1] = f[e1] + 1 中,我们就可以写成 f' = [f EXCEPT ![e1] = @ + 1

小结

可以看到,TLA+ 需要的数学知识其实就是最基本的四则运算,布尔代数,集合论相关的。当然,还有很多运算符这里没有提到,后面实际例子的时候我们继续详细说明。

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