[算法总结] 二分查找

本文首发于我的个人博客：尾尾部落

二分查找法作为一种常见的查找方法，将原本是线性时间提升到了对数时间范围，大大缩短了搜索时间，但它有一个前提，就是必须在有序数据中进行查找。

二分查找很好写，却很难写对，据统计只有10%的程序员可以写出没有bug的的二分查找代码。出错原因主要集中在判定条件和边界值的选择上，很容易就会导致越界或者死循环的情况。

下面对二分查找及其变形进行总结：

1. 最基本的二分查找

public int binarySearch(int[] A, int target, int n){
    int low = 0, high = n, mid;
    while(low <= high){
        mid = low + (high - low) / 2;
        if(A[mid] == target){
            return mid;
        }else if(A[mid] > target){
            high = mid - 1;
        }else{
            low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

其中，有几个要注意的点：

循环的判定条件是：low <= high
为了防止数值溢出，mid = low + (high - low)/2
当 A[mid]不等于target时，high = mid - 1或low = mid + 1

leetcode参考：Search Insert Position

2. 查找目标值区域的左边界/查找与目标值相等的第一个位置/查找第一个不小于目标值数的位置

A = [1,3,3,5, 7 ,7,7,7,8,14,14]
target = 7
return 4

public int binarySearchLowerBound(int[] A, int target, int n){
    int low = 0, high = n, mid;
    while(low <= high){
        mid = low + (high - low) / 2;
        if(target <= A[mid]){
            high = mid - 1;
        }else{
            low = mid + 1;
        }
    }
    if(low < A.length && A[low] == target)
        return low;
    else
        return -1;
}

3. 查找目标值区域的右边界/查找与目标值相等的最后一个位置/查找最后一个不大于目标值数的位置

A = [1,3,3,5,7,7,7, 7 ,8,14,14]
target = 7
return 7

public int binarySearchUpperBound(int[] A, int target, int n){
    int low = 0, high = n, mid;
    while(low <= high){
        mid = low + (high - low) / 2;
        if(target >= A[mid]){
            low = mid + 1;
        }else{
            high = mid - 1;
        }
    }
    if(high >= 0 && A[high] == target)
        return high;
    else
        return -1;
}

此题以可变形为查找第一个大于目标值的数/查找比目标值大但是最接近目标值的数，我们已经找到了最后一个不大于目标值的数，那么再往后进一位，返回high + 1，就是第一个大于目标值的数。

剑指offer：数字在排序数组中出现的次数

4. 查找最后一个小于目标值的数/查找比目标值小但是最接近目标值的数

此题以可由第 2 题变形而来，我们已经找到了目标值区域的下（左）边界，那么再往左退一位，即low - 1，就是最后一个小于目标值的数。其实low - 1也是退出循环后high的值，因为此时 high刚好等于low - 1，它小于low，所以 while 循环结束。我们只要判断high是否超出边界即可。

A = [1,3,3, 5 ,7,7,7,7,8,14,14]
target = 7
return 3

int low = 0, high = n, mid;
while(low <= high){
    mid = low + (high - low) / 2;
    if(target <= A[mid]){
        high = mid - 1;
    }else{
        low = mid + 1;
    }
}
return high < 0 ? -1 : high;

5. 查找第一个大于目标值的数/查找比目标值大但是最接近目标值的数

此题以可由第 3 题变形而来，我们已经找到了目标值区域的上（右）边界，那么再往右进一位，即high + 1，就是第一个大于目标值的数。其实high + 1也是退出循环后low的值，因为此时 low刚好等于high + 1，它大于high，所以 while 循环结束。我们只要判断low是否超出边界即可。

A = [1,3,3,5,7,7,7,7, 8 ,14,14]
target = 7
return 8

int low = 0, high = n, mid;
while(low <= high){
    mid = low + (high - low) / 2;
    if(target >= A[mid]){
        low = mid + 1;
    }else{
        high = mid - 1;
    }
}
return low > n ? -1 : low;

6. 旋转数组返回最小元素

6.1 查找旋转数组的最小元素（假设不存在重复数字）

LeetCode: Find Minimum in Rotated Sorted Array
Input: [3,4,5,1,2]
Output: 1

public int findMin(int[] nums) {
    int len = nums.length;
    if(len == 0)
        return -1;
    int left = 0, right = len - 1, mid;

    while(left < right){
        mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] > nums[right])
            left = mid + 1;
        else{
            right = mid;
        }
    }
    return nums[left];
}

注意这里和之前的二分查找的几点区别：

循环判定条件为left < right，没有等于号
循环中，通过比较nums[left]与num[mid]的值来判断mid所在的位置:

如果nums[mid] > nums[right]，说明前半部分是有序的，最小值在后半部分，令left = mid + 1；
如果nums[mid] <= num[right]，说明最小值在前半部分，令right = mid。

最后，left会指向最小值元素所在的位置。

6.2 查找旋转数组的最小元素（存在重复项）

LeetCode: Find Minimum in Rotated Sorted Array II
剑指offer：旋转数组的最小数字
Input: [2,2,2,0,1]
Output: 0

public int findMin(int[] nums) {
    int len = nums.length;
    if(len == 0)
        return -1;
    int left = 0, right = len - 1, mid;
    while(left < right){
        mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] > nums[right])
            left = mid + 1;
        else if(nums[mid] < nums[right])
            right = mid;
        else
            right--;
    }
    return nums[left];
}

和之前不存在重复项的差别是：当nums[mid] == nums[right]时，我们不能确定最小值在 mid的左边还是右边，所以我们就让右边界减一。

7. 在旋转排序数组中搜索

7.1 不考虑重复项

LeetCode: Search in Rotated Sorted Array

法一：

先利用方法 6.1 查找数组中的最小元素，即确定分界点的位置
把旋转的数组当成偏移，用(offset + mid) % len来求真实的 mid 的位置。
然后用二分查找来定位目标值

public int search(int[] nums, int target) {
    int len = nums.length;
    if(len == 0)
        return -1;
    int left = 0, right = len - 1, mid;
    while(left < right){
        mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] > nums[right])
            left = mid + 1;
        else
            right = mid;
    }
    int offset = left;
    left = 0;
    right = len - 1;
    while(left <= right){
        mid = left + (right - left) / 2;
        int realmid = (mid + offset) % len;
        if(nums[realmid] == target)
            return realmid;
        else if(nums[realmid] < target)
            left = mid + 1;
        else
            right = mid - 1;
    }
    return -1;
}

法二：其实没有必要找到旋转数组的分界点，对于搜索左侧还是右侧我们是可以根据mid跟high的元素大小来判定出来的，直接根据target的值做二分搜索就可以了。

public int search(int[] nums, int target) {
    int len = nums.length;
    if(len == 0)
        return -1;
    int left = 0, right = len - 1, mid;
    while(left <= right){
        mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid;
        else if(nums[left] <= nums[mid]){
            if(target < nums[mid] && target >= nums[left])
                right = mid - 1;
            else
                left = mid + 1;
        }else if(nums[mid] <= nums[right]){
            if(target > nums[mid] && target <= nums[right])
                left = mid + 1;
            else
                right = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

7.2 存在重复项

LeetCode: Search in Rotated Sorted Array II

public boolean search(int[] nums, int target) {
    int len = nums.length;
    if(len == 0)
        return false;
    int left = 0, right = len - 1, mid;
    while(left <= right){
        mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return true;
        else if(nums[mid] > nums[right]){
            if(target < nums[mid] && target >= nums[left])
                right = mid;
            else
                left = mid + 1;
        }else if(nums[mid] < nums[right]){
            if(target > nums[mid] && target <= nums[right])
                left = mid + 1;
            else
                right = mid;
        }else{
            right --;
        }   
    }
    return false;
}

8. 二维数组中的查找

剑指offer：二维数组中的查找

二维数组是有序的，从右上角来看，向左数字递减，向下数字递增。因此可以利用二分查找的思想，从右上角出发：

当要查找数字比右上角数字大时，下移；
当要查找数字比右上角数字小时，左移；