自然常数e的由来

大家好，我是 e，这是我的第一篇文章，此刻我的内心是兴奋的！一位年轻的作家即将诞生（自恋一下）！！！话不多说，开始正文。

开篇先讲两个例子

苏格拉底的麦穗

柏拉图问苏格拉底，什么是爱情。苏格拉底说，这样吧，你去麦田里，不要回头，一直往前走，把你遇到的、最大的那棵麦穗摘下来、拿给我。后面的事，大家都知道了：柏拉图瞻前顾后，总觉得后面还有更好的，结果两手空空、一棵麦穗也没有得到。

除此之外，梅里尔·弗勒德（Merrill Flood）【提出过博弈论中的经典问题：囚徒困境】 也提出过一个类似的问题：假设有一系列的求婚者，分别记为1、2、3、4、5……N，你一次只能面试其中的一个，每次都必须做出决定，接受或者拒绝；而这些求婚者有好有坏，那么，怎么才能以最大概率选中那个最好的呢？

在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数。之所以把这个数称之为自然常数，是因为自然界中的不少规律与该数有关。不过，这个数最初不是在自然界中发现的，而是与银行的复利有关。

想象一下，如果把钱存在年利率为100%的银行中，一年之后的钱将会增加为原来的(1+1)^1=2倍。假如银行不用这种方式来结算利息，而是换成六个月算一次，但半年的利率为之前年利率的一半，也就是50%，那么，一年后的钱将会增加为原来的(1+0.5)^2=2.25倍。同样的道理，如果换成每日，日利率为1/365，则一年后的钱将会增加为原来的(1+1/365)^365≈2.71倍。

也就是说，随着结算时间的缩短，最终收益会越来越多。倘若结算时间无限短，那么，最终的收益会变成无穷多吗？这个问题等同于求解下面的这个极限：

经由严格的数学证明可知，上述极限是存在的，它不是无限的，而是一个常数，这个常数就是现在所说的自然常数e：

另据证明，自然常数e是一个无理数，所以它是一个无限不循环的小数，具体数值为2.71828……。

根据以e为底的指数函数的泰勒级数展开，还能推导出e的另一个表达式：

可以看到，自然数阶乘的倒数之和正是e，所以这能体现自然常数的“自然”之处。

​在自然界中，有不少规律与e有关，例如，生物的生长、繁殖和衰变规律，这些过程都是无限连续的，类似于银行的无限复利。

生活中的数学

似乎许多人不喜欢数学。许多学生常常会问这样抱怨：“我为什么要学这些东西?平时又用不上。”但事实上，作为一个成年人，了解一些基本的数学概念对日常生活是至关重要的。我们在清点现金时，计算房贷时，填写纳税申报表时，都需要数学。事实上，许多金融事务在过去都促进了数学本身的发展。例如，负数最初主要是用来代表债务的。

生活中，我们还经常提到指数增长这个数学概念。指数增长其实指的是这样一种增长：一个系统在一段时间之后会数量翻倍。当然，数量可以翻两倍，翻三倍，翻n倍。指数增长的一个例子就是细菌的繁殖问题。如果培养皿中细菌每隔一段时间数量翻倍，并且繁殖没有任何限制条件的话，那么它们的数量会指数增长下去。

指数增长的另一个熟悉的例子是摩尔定律——一个由英特尔创始人之一戈登·摩尔的名字命名的规律。1965年，摩尔注意到，晶体管的体积迅速减少，这意味着电脑芯片可以装下更多的晶体管，于是他预测，芯片的处理能力大约每两年就会翻一番。这种指数增长已经持续了几十年了，但许多人认为随着技术的限制，摩尔定律过不多久就会失效。

e的魔力

现在，我们来假设有一家银行的年利率是100%。如果计算利息的周期(计息期)是1年的话，那么到了年底，100元就会变为200元。如果你幸运地找到这家银行并存了些钱的话，那么你的钱就会指数增长下去。

如果计息期变短了，你就会获得更多的利息。比如，那家银行的计息期是半年的话，那么6个月之后，会有50元算入本金中，然后在此基础上计算下一期的利息。这样，到了年底时，除了原来的本金产生的100元利息以外，还有50元经过半年产生的利息，为25元。这样，最终银行返还客户的本息为225元，而不是200元。

如果计息期是一个季度的话，那么前面季度的利息又可产生利息，年底最终的本息为244年。很显然，计息期越短，最终的本息就越多。但随着你把计息的时间缩得越来越短，那么增加的利息会越来越少。如果计息期是1天的话，那么最终的本息将是271元。也就是说，最终的本息是原来本金的2.71倍。

于是，就有了一个问题：如果利息每一分钟、每一秒钟，甚至更短的时间都计算在内，最终的本息是原来的多少倍呢?过去，数学家们一直没搞清楚这个问题，直到17世纪才搞清楚。1683年，瑞士数学家雅各布·贝努利找到了答案：2.7182818……这个数与π类似，是一个无理数。数学家们把这个数称为自然常数，并用字母e来代表它。

这种分分秒秒都把利息算在内的增长模式，被称为连续型复合增长，只要是这种增长模式，e便会出现。数学家们还发现，e是数学中最为基本的一个常数。现在，会计学、物理学、工程学、统计和概率论等许多学科中，都有它的身影。

找到真爱

关于e的应用，最有趣的例子就是秘书问题。想象有100个人应聘一份秘书工作，他们按照随机顺序接受面试，而面试官每次面试一人，面试过后便要立刻决定是否聘用他。如果当时决定不聘他，就不能再聘用他;如果聘用了他，整个面试立刻结束。如果面试官想把所有应聘者都面试一遍，那么这就相当于拒绝了前面99个申请人，不管最后一个申请人是否称职，都得录用。问题是，面试官何时做决定，才能以最大的机率得到最适合的人选?

数学家经过分析，认为最佳的办法是，先面试一部分人，然后在剩下的应聘者中，录取胜过或接近之前面试过的最好的应聘者。那么，应该先面试多少人呢?这个计算过程略复杂一些，答案就直接告诉你吧：100/e，约为37。就是说当你面试了37个人之后，选出其中最优秀的一位作为标准，在后面的应聘者遇到类似这样的人，就可以马上确定下来。事实上，这个例子也能适用于找对象。比如，如果你能有机会与100个人相亲，那么见了37个人之后，你就可以下决心与后面63个中的一位意中人谈谈恋爱。

所以说，数学知识不仅在算钱的时候有用，它有时候还会帮助你找到真爱。

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