1.4 无穷小与无穷大

1、再理解一遍定义（无穷小）：

如果 $\forall \varepsilon >0$ , $\exists \delta >0$ ,当 $0<| X-x_{0} |<\delta$ 时，有 $|f(x)-0| <\varepsilon$ ，即： $\lim\nolimits_{x\to x_{0} } f(x) =0$ .

和前面极限定义没有任何区别，以前是极限趋近于a 一个常数，现在是0 。 $0<| X-x_{0} |<\delta$ 表示，点 $x_{0}$ 的去心领域，如下图：即类似以下点a （ $x_{0}$ ）。X 的取值只能是在这个范围里面，一句话就表明了这个不等式的意思千万记住：X 与 $x_{0}$ 就是不等，且X 与 $x_{0}$ 有一定的差距。所以这就是要引进 $\delta$ 的原因，没有它的话，那 $X=x_{0}$ 就没有意思了，那就不讨论极限了。好了，有前面的基础，咱就给出条件说如果满足 $|f(x)-0| <\varepsilon$ ，那就说当 X 趋于 $x_{0}$ 时， $f(x)$ 极限为0，也就是 $f(x)$ 是无穷小。

再啰嗦以下，定义就是要反反复复理解，一定记住定义四要素，1、 $\varepsilon$ 的任意性，2、 $\delta$ 的存在性，3、 $X$ 与 $x_{0} 或者 a$ 有一定差距，4、小于 $\varepsilon$ 。

2、明确一些性质或常识

第一、0时无穷小，但是无穷小不一定是0，无穷小的极限是0

第二、两个无穷小相加还是无穷小，两个无穷小相乘还是无穷小

第三、 $\lim\nolimits_{x\to x_{0} } f(x)=A$ 等价于 $f(x )=A+\alpha ,\alpha \rightarrow 0$

3、无穷大的定义

定义： $如果 \forall M>0,\exists \delta >0,当 0M,称 f(x) 当X->x_{0} 时为无穷大。$

记做 $\lim\nolimits_{x\to x_{0} } f(x) =\propto$ ; 与以前讲过的极限定义有一丢丢不同，就是 $|f(x)|>M$ . 因为无穷小的极限就是0，所以可以直接减去0，但是无穷大可以写成这样的 $|f(x) - \propto | < \varepsilon$ 吗？我认为也可以（个人认为噢！没有验证！），但是很别扭。所以用M来表示，意思更加清楚。即，M具有任意性，要多大有多大，x 在一个范围内，和 $x_{0}$ 有差距，如果 $|f(x)|$ 比M还大，那就说无穷大。注意 $|f(x)|$ 加了绝对值哦，负无穷大也是无穷大！不是无穷小。

4、趋于正无穷大的定义

$如果 \forall M >0, \exists X>0, 当 x>X时，|f(x)|>=M$ ,称 $f(x) 当 x->+\propto 时为无穷大$

解释一下为啥要有 $x>X$ ,是为了保证 $x$ 只能取X的右边，从而向坐标轴右边取值，无限逼近右边。

5、无穷大与无穷小的关系

这个关系就是互为倒数关系， $\frac{1}{\propto } ->0, \frac{1}{0} ->\propto$

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1.4 无穷小与无穷大

1、再理解一遍定义（无穷小）：

如果 ,,当 时， 有 ，即：.

再啰嗦以下，定义就是要反反复复理解，一定记住定义四要素，1、 的任意性，2、的存在性，3、与 有一定差距，4、小于 。

2、明确一些性质或常识

第一、0时无穷小，但是无穷小不一定是0，无穷小的极限是0

第二、两个无穷小相加还是无穷小，两个无穷小相乘还是无穷小

第三、 等价于

3、无穷大的定义

定义：

4、趋于正无穷大的定义

解释一下为啥要有 ,是为了保证 只能取X的右边，从而向坐标轴右边取值，无限逼近右边。

5、无穷大与无穷小的关系

这个关系就是互为倒数关系，

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如果 $\forall \varepsilon >0$ , $\exists \delta >0$ ,当 $0<| X-x_{0} |<\delta$ 时，有 $|f(x)-0| <\varepsilon$ ，即： $\lim\nolimits_{x\to x_{0} } f(x) =0$ .

再啰嗦以下，定义就是要反反复复理解，一定记住定义四要素，1、 $\varepsilon$ 的任意性，2、 $\delta$ 的存在性，3、 $X$ 与 $x_{0} 或者 a$ 有一定差距，4、小于 $\varepsilon$ 。

第三、 $\lim\nolimits_{x\to x_{0} } f(x)=A$ 等价于 $f(x )=A+\alpha ,\alpha \rightarrow 0$

定义： $如果 \forall M>0,\exists \delta >0,当 0M,称 f(x) 当X->x_{0} 时为无穷大。$

解释一下为啥要有 $x>X$ ,是为了保证 $x$ 只能取X的右边，从而向坐标轴右边取值，无限逼近右边。

这个关系就是互为倒数关系， $\frac{1}{\propto } ->0, \frac{1}{0} ->\propto$