数据结构(二):二叉搜索树(Binary Search Tree)

二分法猜数字的游戏应该每个人都知道,通过对猜测数字“大了”、“小了”的情况判断,来猜出最终的数字。序列范围为 n 的集合,复杂度为 O(log_2 n),即最多需要 log_2 n 次可以猜到最终数字。

引子

二分法的查找过程是,在一个有序的序列中,每次都会选择有效范围中间位置的元素作判断,即每次判断后,都可以排除近一半的元素,直到查找到目标元素或返回不存在,所以 n 个有序元素构成的序列,查找的时间复杂度为 O(log_2 n)。既然线性结构能够做到查询复杂度为 O(log_2 n) 级别,那二叉搜索树产生又有何必要呢?毕竟二叉搜索树的查询复杂度只是介于 O(log_2 n)~O(n) 之间,并不存在查询优势。

定义

二叉搜索树是一种节点值之间具有一定数量级次序的二叉树,对于树中每个节点:

  • 若其左子树存在,则其左子树中每个节点的值都不大于该节点值;
  • 若其右子树存在,则其右子树中每个节点的值都不小于该节点值。

示例:


BST

查询复杂度

观察二叉搜索树结构可知,查询每个节点需要的比较次数为节点深度加一。如深度为 0,节点值为 “6” 的根节点,只需要一次比较即可;深度为 1,节点值为 “3” 的节点,只需要两次比较。即二叉树节点个数确定的情况下,整颗树的高度越低,节点的查询复杂度越低。

二叉搜索树的两种极端情况:

【1】 完全二叉树,所有节点尽量填满树的每一层,上一层填满后还有剩余节点的话,则由左向右尽量填满下一层。如上图BST所示,即为一颗完全二叉树;
【2】每一层只有一个节点的二叉树。如下图SP_BST所示:

SP_BST

第【1】种情况下的查找次数分析:由上一章 二叉树 可知,完美二叉树中树的深度与节点个数的关系为:n=2^{d+1}-1。设深度为 d 的完全二叉树节点总数为 n_c,因为完全二叉树中深度为 d 的叶子节点层不一定填满,所以有 n_c \le 2^{d+1}-1,即:d+1 \ge log_2{(n_c+1)},因为 d+1 为查找次数,所以完全二叉树中查找次数为:\lceil log_2{(n_c+1)} \rceil

第【2】种情况下,树中每层只有一个节点,该状态的树结构更倾向于一种线性结构,节点的查询类似于数组的遍历,查询复杂度为 O(n)

所以二叉搜索树的查询复杂度为 O(log_2 n)~O(n)

构造复杂度

二叉搜索树的构造过程,也就是将节点不断插入到树中适当位置的过程。该操作过程,与查询节点元素的操作基本相同,不同之处在于:

  • 查询节点过程是,比较元素值是否相等,相等则返回,不相等则判断大小情况,迭代查询左、右子树,直到找到相等的元素,或子节点为空,返回节点不存在
  • 插入节点的过程是,比较元素值是否相等,相等则返回,表示已存在,不相等则判断大小情况,迭代查询左、右子树,直到找到相等的元素,或子节点为空,则将节点插入该空节点位置。

由此可知,单个节点的构造复杂度和查询复杂度相同,为 O(log_2 n)~O(n)

删除复杂度

二叉搜索树的节点删除包括两个过程,查找和删除。查询的过程和查询复杂度已知,这里说明一下删除节点的过程。

节点的删除有以下三种情况:
  1. 待删除节点度为零;
  2. 待删除节点度为一;
  3. 待删除节点度为二。

第一种情况如下图 s_1 所示,待删除节点值为 “6”,该节点无子树,删除后并不影响二叉搜索树的结构特性,可以直接删除。即二叉搜索树中待删除节点度为零时,该节点为叶子节点,可以直接删除;

s_1
s_1'

第二种情况如下图 s_2 所示,待删除节点值为 “7”,该节点有一个左子树,删除节点后,为了维持二叉搜索树结构特性,需要将左子树“上移”到删除的节点位置上。即二叉搜索树中待删除的节点度为一时,可以将待删除节点的左子树或右子树“上移”到删除节点位置上,以此来满足二叉搜索树的结构特性。

s_2
s_2'

第三种情况如下图 s_3 所示,待删除节点值为 “9”,该节点既有左子树,也有右子树,删除节点后,为了维持二叉搜索树的结构特性,需要从其左子树中选出一个最大值的节点,“上移”到删除的节点位置上。即二叉搜索树中待删除节点的度为二时,可以将待删除节点的左子树中的最大值节点“移动”到删除节点位置上,以此来满足二叉搜索树的结构特性。

其实在真实的实现代码中,该情况下的实际节点删除操作是:
1.查找出左子树中的最大值节点 Node_{max}
2.替换待删除节点 node 的值为 Node_{max} 的值
3.删除 Node_{max} 节点
因为 Node_{max} 作为左子树的最大值节点,所以节点的度一定是 0 或 1,所以删除节点的情况就转移为以上两种情况。

s_3
s_3'

之前提到二叉搜索树中节点的删除操作,包括查询和删除两个过程,这里称删除节点后,维持二叉搜索树结构特性的操作为“稳定结构”操作,观察以上三种情况可知:

  • 前两种情况下,删除节点后,“稳定结构”操作的复杂度都是常数级别,即整个的节点删除操作复杂度为 O(log_2 n)~O(n)
  • 第三种情况下,设删除的节点为 p,“稳定结构”操作需要查找 p 节点左子树中的最大值,也就是左子树中最“右”的叶子结点,即“稳定结构”操作其实也是一种内部的查询操作,所以整个的节点删除操作其实就是两个层次的查询操作,复杂度同为 O(log_2 n)~O(n)

性能分析

由以上查询复杂度、构造复杂度和删除复杂度的分析可知,三种操作的时间复杂度皆为 O(log_2 n)~O(n)。下面分析线性结构的三种操作复杂度,以二分法为例:

  • 查询复杂度,时间复杂度为 O(log_2 n),优于二叉搜索树;
  • 元素的插入操作包括两个步骤,查询和插入。查询的复杂度已知,插入后调整元素位置的复杂度为 O(n),即单个元素的构造复杂度为:O(n)
  • 删除操作也包括两个步骤,查询和删除,查询的复杂度已知,删除后调整元素位置的复杂度为 O(n),即单个元素的删除复杂度为:O(n)

由此可知,二叉搜索树相对于线性结构,在构造复杂度和删除复杂度方面占优;在查询复杂度方面,二叉搜索树可能存在类似于斜树,每层上只有一个节点的情况,该情况下查询复杂度不占优势。

总结

二叉搜索树的节点查询、构造和删除性能,与树的高度相关,如果二叉搜索树能够更“平衡”一些,避免了树结构向线性结构的倾斜,则能够显著降低时间复杂度。二叉搜索树的存储方面,相对于线性结构只需要保存元素值,树中节点需要额外的空间保存节点之间的父子关系,所以在存储消耗上要高于线性结构。

代码附录

python版本:3.7,树中的遍历、节点插入和删除操作使用的是递归形式

  • 树节点定义
# tree node definition
class Node(object):
    def __init__(self, value, lchild=None, rchild=None):
        self.value = value
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild
  • 树定义
# tree definition
class Tree(object):
    def __init__(self, root=None):
        self.root = root

    # node in-order traversal(LDR)
    def traversal(self):
        traversal(self.root)

    # insert node
    def insert(self, value):
        self.root = insert(self.root, value)

    # delete node
    def delete(self, value):
        self.root = delete(self.root, value)
  • 模块中对树结构中的函数进行实现
# node in-order traversal(LDR)
def traversal(node):
    if not node:
        return
    traversal(node.lchild)
    print(node.value,end=' ')
    traversal(node.rchild)

# insert node
def insert(root, value):
    if not root:
        return Node(value)
    if value < root.value:
        root.lchild = insert(root.lchild, value)
    elif value > root.value:
        root.rchild = insert(root.rchild, value)
    return root

# delete node
def delete(root, value):
    if not root:
        return None
    if value < root.value:
        root.lchild = delete(root.lchild, value)
    elif value > root.value:
        root.rchild = delete(root.rchild, value)
    else:
        if root.lchild and root.rchild:  # degree of the node is 2
            target = root.lchild  # find the maximum node of the left subtree
            while target.rchild:
                target = target.rchild
            root = delete(root, target.value)
            root.value = target.value
        else:  # degree of the node is [0|1]
            root = root.lchild if root.lchild else root.rchild
    return root
  • 测试代码与输出
if __name__ == '__main__':
    arr = [5, 3, 4, 0, 2, 1, 8, 6, 9, 7]
    T = Tree()
    for i in arr:
        T.insert(i)
    print('BST in-order traversal------------------')
    T.traversal()
    print('\ndelete test------------------')
    for i in arr[::-1]:
        print('after delete',i,end=',BST in-order is = ')
        T.delete(i)
        T.traversal()
        print()

输出结果为:

BST in-order traversal------------------
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
delete test------------------
after delete 7,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 6 8 9 
after delete 9,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 6 8 
after delete 6,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 8 
after delete 8,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 
after delete 1,BST in-order is = 0 2 3 4 5 
after delete 2,BST in-order is = 0 3 4 5 
after delete 0,BST in-order is = 3 4 5 
after delete 4,BST in-order is = 3 5 
after delete 3,BST in-order is = 5 
after delete 5,BST in-order is = 

github 链接:二叉搜索树

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