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前面介绍的SVM，无论是线性可分还是非线性可分，称为Hard Margin SVM，都要求对输入数据进行精确划分。我们不难想到这类SVM存在过拟合这个问题。如果输入数据本身就存在误差，精确划分反而是没意义的。本篇文章就如何处理过拟合问题，介绍即所谓的Soft Margin SVM。

数学推导

引入衡量误差的变量 -\xi\_i-。-\xi\_i-表示不能被正确分类的样本点距离正确一侧边界的距离，距离越大表示错误越大，即-\xi\_i-越大。如果样本点能被正确分类，则-\xi\_i = 0-。故有-\xi\_i \ge 0-。

那么，原来能通过求解函数-\frac{1}{2}\vec{w}^{2}-在最小化下的参数-\vec{\alpha}-，如今需要增加能够体现误差的约束条件再求解。

可以如下构造函数来描述误差：
\frac{1}{2}\vec{w}^{2} + C\sum_{i}^{n}{\xi\_i}

这个函数把所有输入数据的误差叠加在一起，即-\sum_{i}^{n}{\xi\_i}-。然后用参数C来控制所有误差的权重。如果C很大，表示即使有很小的误差出现都会严重影响目标函数。

结合之前文章提到的知识，可以构造拉格朗日方程：

L(\vec{w}, b, \vec{\xi}, \vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \frac{1}{2}\vec{w}^{T}\vec{w} + C\sum_{i}^{n}{\xi\_i} - \sum\_{i}^{n}{\alpha\_i[y\_i(\vec{w}^{T}\vec{x\_i}+b)-1+\xi\_i]} - \sum\_{i}^{n}\beta\_i\xi\_i
其中，
\alpha\_i \ge 0, \beta\_i \ge 0, i = 1,2...n

然后利用对偶思想求解-\vec{w}, b, \xi-的导数，并让他们等于0。如下：

\begin{array}{lcl} \frac{\partial L}{\partial \vec{w}} = \vec{w} - \sum\_{i}^{n}\alpha\_{i} y\_{i} \vec{x}\_i = 0 \\\\ \frac{\partial L}{\partial b} = - \sum\_{i}^{n}\alpha\_{i} y\_{i} = 0 \\\\ \frac{\partial L}{\partial \xi\_{i}} = C - \alpha\_{i} - \beta\_{i} = 0 \end{array}

代入上面的拉格朗日方程，可以得到二项规划方程。最后求解-\vec{\alpha}-，可得-\vec{w}-和-b-。二项规划方程如下：
F(\alpha) = \frac{1}{2}\sum\_{i}^{n}\sum\_{j}^{m}y\_{i}y\_{j}\alpha\_{i}\alpha\_{j}\vec{x}\_{i}^{T}\vec{x}\_{j} - \sum\_{i}^{n} \alpha\_i， C \ge \alpha\_i \ge 0, i = 1,...,n

其中-\vec{w}-如下：
\vec{w} = \sum\_{i}^{n}\alpha\_{i}y\_{i}\vec{x}\_{i}

-b-可利用落于边界上的支持向量求解。

比较

看到二项规划那一步，我们可以发现Hard Margin SVM和Soft Margin SVM的差别仅仅是-\alpha\_i-的取值范围上有差异。Hard Margin SVM的约束条件是-\alpha\_i \ge 0-；Soft Margin SVM的约束条件是-C \ge \alpha\_i \ge 0-。

我们知道-\alpha\_{i}-仅在-\vec{x}-为支持向量时值大于零。而在这里，-\alpha\_{i}-多了一个上限C。因为-C = \alpha\_{i} + \beta\_{i}-，所以有下面结论：

如果-\alpha\_{i} = 0-，表示该点为非支持向量。

如果- 0 \lt \alpha\_{i} \lt C-，则-\beta\_{i} \gt 0-，对应的-\xi\_{i} = 0-，表示该点为边界支持向量。如下图：

image.png

如果-\alpha\_{i} = C-，则-\beta\_{i} = 0-，对应的-\xi\_{i} \gt 0-，表示该点违反了最大边界的原则，属于噪声点。

image.png