算法学习(1)寻找最大子序列和问题

题目描述

给定一个含整数的数组,找到其最大的子序列和,如果最大值为负数,则返回0。
例:A1,A2,A3,A4,其子序列的可能情况是:

  • {A1,A2,A3,A4}
  • {A1,A2,A3}
  • {A1,A2}
  • {A1}
  • {A2,A3,A4}
  • {A2,A3}
  • {A2}
  • {A3,A4}
  • {A3}
  • {A4}

注意:{A1,A3}不属于其子序列,即子序列一定是连续的某几个元素组成的。

例:-5,4,3,-9,12,1,-2;其最大子序列由{12,1}组成

方法1

学习算法的第一步,就是当你什么聪明的办法都想不出来的时候,你也要会用最笨的办法去解决,不管这个方法的时间复杂度和空间复杂度有多高,能写出一个可行的算法,你就算成功了。

static int maxSubSum1(int[] a) {
    int maxSum = 0;
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        for (int j = i; j < a.length; j++) {
            int tempSum = 0;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                tempSum += a[k];
            }
            if (tempSum > maxSum) {
                maxSum = tempSum;
            }
        }
    }
    return maxSum;
}

说明:第一轮循环,从第1个元素开始,依次和第2个、第3个...相加,每加完一次,比较得到的值是否大于上一次保存的最大值,如果是,则更新maxSum
时间复杂度:O(N^3)

计算时间复杂度的一个小技巧:一个for循环,时间复杂度为O(N),两层嵌套的for循环,时间复杂度为O(N^2),依次类推。即使某些for循环并不真正会循环N次

方法2

方法1最里面的for循环其实很没必要,我们只要做一点改进就能得到一个时间复杂度为O(N^2)的算法

static int maxSubSum2(int[] a) {
    int maxSum2 = 0;
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        int tempSum = 0;
        for (int j = i; j < a.length; j++) {
            tempSum += a[j];
            if (tempSum > maxSum2) {
                maxSum2 = tempSum;
            }
        }
    }
    return maxSum2;
}

方法3(分治策略)

分治策略在这里虽然不是表现最好的算法,但它在大部分情况下都是表现最好的。
解决问题的关键两步:1. 分 2. 治
分:将问题分解为两个子问题求解,得到每个子问题各自的最优解
治:在合并子问题的解时,可能需要补充某些条件,使得最后结果是整个问题的最优解
在本题中,我们首先要分析出,最大子序列和出现的位置:

  • 出现在整个序列的左半部分
  • 出现在整个序列的右半部分
  • 出现在跨越中间值的中间部分

当最大子序列和出现在第3种情况时,要注意,此时的 最优解 != 左边最优解 + 右边最优解,而应该是 左边包含了左序列的右边界的最优解 + 右边包含了右序列的左边界的最优解
举个例子:{3,-2,12},左序列得到最优解为3,右序列得到最优解为12,中间部分最优解是(3+(-2)+ 12)= 13,三者取最大值,返回13

用代码解释:
第一步:考虑分解子问题,这里采用递归法,先实现入口函数:

maxSubSumRec(a, 0, a.length - 1)

第二步:实现递归的Base case

static int maxSubSumRec(int[] a, int left, int right) {
        if (left == right) {
            return Math.max(a[left], 0);
        }
 }

第三步:”分“

int center = (left + right) / 2;
int maxLeftSubSum = maxSubSumRec(a, left, center); //左子问题的最大子序列和
int maxRightSubSum = maxSubSumRec(a, center + 1, right);//右子问题的最大子序列和

第四步:”治“,处理获取中间部分的最大序列和

int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0, maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
for (int i = center; i >= 0; i--) {
    leftBorderSum += a[i];
    if (leftBorderSum > maxLeftBorderSum)
        maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
}
for (int i = center+1; i <= right; i++) {
    rightBorderSum += a[i];
    if (rightBorderSum > maxRightBorderSum)
        maxRightBorderSum = rightBorderSum;
}

第五步:返回三个值中的最大值

return max(maxLeftSubSum, maxRightSubSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);

补充max方法实现:

public static int max(int... num) {
    int max = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < num.length; i++) {
        if (num[i] > max) {
            max = num[i];
        }
    }
    return max;
}

所有代码:

static int maxSubSumRec(int[] a, int left, int right) {
    if (left == right) {
        return Math.max(a[left], 0);
    }
    int center = (left + right) / 2;
    int maxLeftSubSum = maxSubSumRec(a, left, center);
    int maxRightSubSum = maxSubSumRec(a, center + 1, right);
    int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0, maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
    for (int i = center; i >= 0; i--) {
        leftBorderSum += a[i];
        if (leftBorderSum > maxLeftBorderSum)
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
    }
    for (int i = center+1; i <= right; i++) {
        rightBorderSum += a[i];
        if (rightBorderSum > maxRightBorderSum)
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;
    }
    return max(maxLeftSubSum, maxRightSubSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);
}

public static void main(String[] args) {
   maxSubSumRec(a, 0, a.length - 1)
}

时间复杂度:二分的时间复杂度是O(logN),在二分的里面嵌套了一层for循环,所以总的时间复杂度是O(NlogN)

方法四

方法四在这里可以得到最优的时间复杂度O(N),且代码实现简洁,当然,代码层面表现的越简洁,写代码前的头脑风暴就越大。
分析最大子序列和的特点,我们发现最大子序列和的第一个元素一定不会是负值,因为如果第一个元素取了负值,那么总会存在一个和比它更大的子序列,并且,这个推论总是成立的
此时,我们做的事情非常简单,只要发现遍历到当前项时,得到的和小于0,那么我们直接抛弃这之前的所有项,我们发现,这时候我们通过一次遍历就可以完成这件事

static int maxSubSum4(int[] a) {
    int maxSum = 0, tempSum = 0;
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        tempSum += a[i];
        if (tempSum > maxSum)
            maxSum = tempSum;
        else if (tempSum < 0) {
            tempSum = 0;
        }
    }
    return maxSum;
}
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