动态规划之斜率优化

斜率优化概念

在动态规划中,某些递推方程可以转化成 DP[i] = f[j] + x[i] 的形式,其中 f[j] 只保存与 j 相关的量。这类方程有两类优化方式:

  1. 单调队列优化
    局限性:f[j] 必须只能和 j 有关,且其递推方程可以分解成上述形式,否则该优化方案不合适。
  2. 斜率优化
    可以较好的解决单调队列的局限性。

斜率优化应用实战

题目:打印数字

给定一串数字(含有N个元素), 连续输出其中的一个子串,所花费用是“子串数字和的平方 加 上一个常数M”。求解:输出这一串数字的最小花费。
题目来源自HDU

题解

假设下标 i 从 1 开始;
dp[i] : 表示输出到 第 i 个数字时的最少花费;
sum[i] : 表示从a[1] 到 a[i] 的数字和;
递推方程: dp[i] = dp[j] + M + (sum[i] - sum[j])2

从该递推公式可以看出,我们需要二层循环,当输入的数字串非常大时,显然非常耗时。时间复杂度O(N2)

斜率优化

步骤1:问题是否具有决策单调性

步骤2:斜率优化
假设k<j<i, i 是当前的位置, 由题意知,如果选择 j 优于 选择 k,则
dp[j] + M + (sum[i] - sum[j])2 < dp[k] + M + (sum[i] - sum[k])2.
化简该式:{ (dp[j] + sum[j]2) - (dp[k] + sum[k]2) } / 2(sum[j] - sum[k]) < sum[i]。

记 yj = (dp[j] + sum[j]2)
记 yk = (dp[k] + sum[k]2)
记 xj = 2sum[j]
记 xk = 2sum[k]

令 g(j, k) = (yj - yk) / (xj - xk)
当g(j, k) < sum[i]成立是,说明选择 j 优于选择 k。

假设k<j<i, 如果 g(i, j) < g(j, k), 则 j 永远不可能成为最优解
证明
当g(i, j) < sum[i]时, 选择 i 优于 选择 j, 因此,排除 j
当g(i, j) >= sum[i]时,选择 j 优于 选择 i, 又 g(j, k) > g(i, j) >=sum[i], 说明选择 k 优于 选择 j,因此,同样排除 j.

由于排除不必要的点,因此缩小了搜索空间。

步骤3:选择最优解
设k<j<i, 如果 g(i, j) < g(j, k), 则 j 永远不可能成为最优解。 因此整个有效点集应该呈现下凸(开口向上)性质,即:kj 的斜率 小于 ji 的斜率,如图1所示

图1

因此,从左到右,有效点集的 斜率是单调递增的。

斜率优化总结如下:

  1. 用一个单调队列 q 来维护解集。
  2. 更新q, 同时维护解集的下凸性:
    假设队列中从头到尾已经有元素k, j, i (k<j<i)。那么当d要入队的时候,我们维护队列的上凸性质,即如果g[d,i] < g[i,j],则将 i 点删除,直到找到g[d,x]>=g[x,y]为止(x,y都是队列中的元素),并将d点加入在该位置中。
  3. 求解:
    从队头开始,如果已有元素a b c (a<b<c),当 i 点要求解时,如果g[b,a] < sum[i],那么说明b点比a点更优,a点可以排除,于是a出队。最后dp[i] = dp[q[head]] + M + (sum[i] - sum[q[head]])2;。

代码如下:

//TODO

复杂度分析

空间复杂度:

注:本文主要参考了文献1,但文献1中由太多的错误,且排版混乱,叙述不清晰,因此在理解的基础上,写下此文。

参考文献

[1] http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2012/08/03/2621345.html

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