参考：Python实现常见机器学习算法
一、线性回归
1、代价函数
2、梯度下降算法
3、均值归一化
4、最终运行结果
5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
二、逻辑回归
1、代价函数
2、梯度
3、正则化
4、S型函数
5、映射为多项式
6、使用的优化方法
7、运行结果
8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
1、随机显示100个数字
2、OneVsAll
3、手写数字识别
4、预测
5、运行结果
6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
三、BP神经网络
1、神经网络model
2、代价函数
3、正则化
4、反向传播BP
5、BP可以求梯度的原因
6、梯度检查
7、权重的随机初始化
8、预测
9、输出结果
四、SVM支持向量机
1、代价函数
2、Large Margin
3、SVM Kernel（核函数）
4、使用中的模型代码
5、运行结果
正文
1、代价函数
其中：
。
下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近
共有m条数据，其中
代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，
有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去
实现代码：
# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
m = len(y)
J = 0
J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
return J
注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)
2、梯度下降算法
代价函数对
求偏导得到：
所以对theta的更新可以写为：
为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....
为什么梯度下降可以逐步减小代价函数？
假设函数f(x)的
泰勒展开：f(x+x)=f(x)+f'(x)*x+o(x)，
令：x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α，
将x代入泰勒展开式中：
f(x+x)=f(x)-α[f'(x)]²+o(x)*
可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]²也是正数，所以可以得出：f(x+x)<=f(x)，
所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。
梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
m = len(y)
n = len(theta)
temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式
J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数
h = np.dot(X,theta) # 计算内积，matrix可以直接乘
temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))
#梯度的计算
theta = temp[:,i]
J_history[i] = computerCost(X,y,theta) #调用计算代价函数
print '.',
return theta,J_history
3、均值归一化
目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
其中
为所有此feture数据的平均值，
可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差
实现代码：
归一化feature
def featureNormaliza(X):
X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
#定义所需变量
mu = np.zeros((1,X.shape[1]))
sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
mu = np.mean(X_norm,0) # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
sigma = np.std(X_norm,0) # 求每一列的标准差
for i in range(X.shape[1]): # 遍历列
X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] # 归一化
return X_norm,mu,sigma
注意预测的时候也需要均值归一化数据
4、最终运行结果
代价随迭代次数的变化
5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
导入包
from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包
归一化
#归一化操作
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X)
x_train = scaler.transform(X)
x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))
线性模型拟合
# 线性模型拟合
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(x_train, y)
预测
#预测结果
result = model.predict(x_test)
二、逻辑回归
1、代价函数
可以综合起来为：
其中：
为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
的图像如下，即y=1时：
可以看出，当
趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若
趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值，
同理
的图像如下（y=0）：
2、梯度
同样对代价函数求偏导：
可以看出与线性回归的偏导数一致
推导过程
3、正则化
目的是为了防止过拟合。
在代价函数中加上一项
注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
正则化后的代价：
# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
m = len(y)
J = 0
h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0
theta1[0] = 0
temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程
return J
正则化后的代价的梯度
# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
m = len(y)
grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy()
theta1[0] = 0
grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1
#正则化的梯度
return grad
4、S型函数
实现代码：
# S型函数
def sigmoid(z):
h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置
h = 1.0/(1.0+np.exp(-z)) return h
5、映射为多项式
因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
eg:映射为2次方的形式:
实现代码：
# 映射为多项式
def mapFeature(X1,X2):
degree = 3; # 映射的最高次方
out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代X）
'''
这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
'''
for i in np.arange(1,degree+1):
for j in range(i+1):
temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
return out
6、使用scipy的优化方法
梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)
costFunction: 是自己实现的一个求代价的函数，
initial_theta: 表示初始化的值,
fprime指定costFunction的梯度
args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta,
fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))
7、运行结果
data1决策边界和准确度
data2决策边界和准确度
8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
导入包
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np
划分训练集和测试集
# 划分为训练集和测试集
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)
归一化
# 归一化
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(x_train)
x_train = scaler.fit_transform(x_train)
x_test = scaler.fit_transform(x_test)
逻辑回归
#逻辑回归
model = LogisticRegression()
model.fit(x_train,y_train)
预测
# 预测
predict = model.predict(x_test)
right = sum(predict == y_test)
# 将预测值和真实值放在一块，好观察
predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))
print predict
#计算在测试集上的准确度
print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))
逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
1、随机显示100个数字
我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下
灰度图：
实现代码：
# 显示100个数字
def display_data(imgData):
sum = 0
'''
显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）
- 初始化一个二维数组
- 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组
- 显示即可
'''
pad = 1
display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
for i in range(10):
for j in range(10):
# order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行
display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20]
= (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F"))
sum += 1
plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像
plt.axis('off')
plt.show()
2、OneVsAll
如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了。
如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推...
可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类
3、手写数字识别
共有0-9，10个数字，需要10次分类
由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理
说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，**前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0.... **
然后调用梯度下降算法求解theta
实现代码：
# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
# 初始化变量
m,n = X.shape
all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
#np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')
'''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
for i in range(num_labels):
# 调用梯度下降的优化方法
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta,
fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda))
all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中
all_theta = np.transpose(all_theta)
return all_theta
4、预测
之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推
实现代码：
# 预测
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
m = X.shape[0]
num_labels = all_theta.shape[0]
p = np.zeros((m,1))
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1
h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测
'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p
5、运行结果
10次分类，在训练集上的准确度：
6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
1、导入包
from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
2、加载数据
data = loadmat_data("data_digits.mat")
X = data['X'] # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px
y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
3、拟合模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X, y) # 拟合
4、预测
predict = model.predict(X) #预测
print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
5、输出结果（在训练集上的准确度）
三、BP神经网络
1、神经网络model
先介绍个三层的神经网络，如下图所示
输入层（input layer）有三个units（
为补上的bias，通常设为1）
表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit
为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重
所以可以得到：
隐含层：
输出层
，
其中，S型函数
，也成为激励函数
可以看出
为3x4的矩阵，
为1x4的矩阵
==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）
2、代价函数
假设最后输出的
，即代表输出层有K个单元
，
其中，
代表第i个单元输出
与逻辑回归的代价函数
差不多，就是
累加上每个输出（共有K个输出）
3、正则化
L: 所有层的个数
表示第L层unit的个数
正则化后的代价函数为
共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
正则化后的代价函数实现代码：
> # 代价函数
>
> def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
>
> length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
>
> # 还原theta1和theta2
>
> Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
>
> Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
>
> # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
>
> m = X.shape[0]
>
> class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
>
> # 映射y
>
> for i in range(num_labels):
>
> class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
>
> '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
>
> Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
>
> Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
>
> Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
>
> Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
>
> # 正则化向theta^2
>
> term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
,np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
>
> '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
>
> a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
>
> z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
>
> a2 = sigmoid(z2)
>
> a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
>
> z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
>
> h = sigmoid(z3)
>
> '''代价'''
>
> J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))
+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m
>
> return np.ravel(J)
4、反向传播BP
上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度
BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度
假设4层的神经网络,
记为-->l层第j个单元的误差
《===》
（向量化）
没有
，因为对于输入没有误差
因为S型函数
的倒数为：
，
所以上面的
和
可以在前向传播中计算出来
反向传播计算梯度的过程为：
for i=1-m:-
-正向传播计算
（l=2,3,4...L）
-反向计算
最后
，即得到代价函数的梯度
实现代码：
> # 梯度
>
> def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
>
> length = nn_params.shape[0]
>
> Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
>
> Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
>
> m = X.shape[0]
>
> class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
>
> # 映射y
>
> for i in range(num_labels):
>
> class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
>
> '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
>
> Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
>
> Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
>
> Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
>
> Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
>
> Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重
>
> Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重
>
> Theta1[:,0] = 0;
>
> Theta2[:,0] = 0;
>
> '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
>
> a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
>
> z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
>
> a2 = sigmoid(z2)
>
> a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
>
> z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
>
> h = sigmoid(z3)
>
> '''反向传播，delta为误差，'''
>
> delta3 = np.zeros((m,num_labels))
>
> delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
>
> for i in range(m):
>
> delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]
>
> Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
>
> delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
>
> Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
>
> '''梯度'''
>
> grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
>
> return np.ravel(grad)
5、BP可以求梯度的原因
实际是利用了链式求导法则
因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
求误差更详细的推导过程：
6、梯度检查
检查利用BP求的梯度是否正确
利用导数的定义验证：
求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
实现代码：
> # 检验梯度是否计算正确
>
> # 检验梯度是否计算正确
>
> def checkGradient(Lambda = 0):
>
> '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
>
> input_layer_size = 3
>
> hidden_layer_size = 5
>
> num_labels = 3
>
> m = 5
>
> initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);
>
> initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
>
> X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
>
> y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
>
> y = y.reshape(-1,1)
>
> nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta
>
> '''BP求出梯度'''
>
> grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,
>
> num_labels, X, y, Lambda)
>
> '''使用数值法计算梯度'''
>
> num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
>
> step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
>
> e = 1e-4
>
> for i in range(nn_params.shape[0]):
>
> step[i] = e
>
> loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
>
> num_labels, X, y,
>
> Lambda)
>
> loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
>
> num_labels, X, y,
>
> Lambda)
>
> num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
>
> step[i]=0
>
> # 显示两列比较
>
> res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
>
> print res
7、权重的随机初始化
神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
所以应该初始化为接近0的数
实现代码
> # 随机初始化权重theta
>
> def randInitializeWeights(L_in,L_out):
>
> W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重
>
> epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
>
> W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
>
> return W
8、预测
正向传播预测结果
实现代码
> # 预测
>
> def predict(Theta1,Theta2,X):
>
> m = X.shape[0]
>
> num_labels = Theta2.shape[0]
>
> #p = np.zeros((m,1))
>
> '''正向传播，预测结果'''
>
> X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
>
> h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
>
> h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
>
> h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
>
> '''
>
> 返回h中每一行最大值所在的列号
>
> - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
>
> - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
>
> '''
>
> #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
>
> p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))
>
> for i in np.arange(1, m):
>
> t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
>
> p = np.vstack((p,t))
>
> return p
9、输出结果
梯度检查：
随机显示100个手写数字
显示theta1权重
训练集预测准确度
归一化后训练集预测准确度
四、SVM支持向量机
1、代价函数
在逻辑回归中，我们的代价为：
其中：
如图所示，如果y=1，cost代价函数如图所示
我们想让
，即z>>0，这样的话cost代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中红色的函数
代替逻辑回归中的cost
当y=0时同样，用
代替
最终得到的代价函数为：
最后我们想要
之前我们逻辑回归中的代价函数为：
可以认为这里的
，只是表达形式问题，这里C的值越大，SVM的决策边界的margin也越大，下面会说明
2、Large Margin
如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开
先说一下向量内积
表示u的欧几里得范数（欧式范数），
向量V在向量u上的投影的长度记为p，则：向量内积：
根据向量夹角公式推导一下即可，
前面说过，当C越大时，margin也就越大，我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时，C的乘积项
要很小，所以近似为：
我们最后的目的就是求使代价最小的θ
由
可以得到：
p即为x在θ上的投影
如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到θ上的投影为p,则
或者
，若是p很小，则需要
很大，这与我们要求的θ使
最小相违背，所以最后求的是large margin
3、SVM Kernel（核函数）
对于线性可分的问题，使用线性核函数即可
对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将feature映射为使用多项式的形式
，SVM中也有多项式核函数，但是更常用的是高斯核函数，也称为RBF核
高斯核函数为：
假设如图几个点，
令：
可以看出，若是x与
距离较近，==》
，（即相似度较大），若是x与
距离较远，==》
，（即相似度较低）
高斯核函数的σ越小，f下降的越快
如何选择初始的
训练集：
选择：
对于给出的x，计算f,令：
，
所以：
最小化J求出θ，
如果
，==》预测y=1
4、使用scikit-learn中的SVM模型代码
线性可分的,指定核函数为linear：
> '''data1——线性分类'''
>
> data1 = spio.loadmat('data1.mat')
>
> X = data1['X']
>
> y = data1['y']
>
> y = np.ravel(y)
>
> plot_data(X,y)
>
> model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数
非线性可分的，默认核函数为rbf
> '''data2——非线性分类'''
>
> data2 = spio.loadmat('data2.mat')
>
> X = data2['X']
>
> y = data2['y']
>
> y = np.ravel(y)
>
> plt = plot_data(X,y)
>
> plt.show()
>
> model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y) # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好
5、运行结果
线性可分的决策边界：
线性不可分的决策边界：
