程序员进阶之算法练习(三十)附基础教程

前言

BAT常见的算法面试题解析:
程序员算法基础——动态规划
程序员算法基础——贪心算法
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正文

1.k-th divisor

题目链接
题目大意:
给出一个数字n,求数字n所有因子中,第k大的数字;
如果没有输出-1;

输入数据:
两个数字 n and k (1 ≤ n ≤ 1e15, 1 ≤ k ≤ 1e9)

Examples
input
4 2
output
2
input
5 3
output
-1

题目解析:
假如n=x*y(x<y),那么x和y是n的因子,且有x <= sqrt(n);
那么只要枚举x=1~sqrt(n),y=n/x,这样可以得到n所有的因子;
再从因子中选择第k大的数字即可。

思考🤔:
小trick,n=9,x=3时,有y=3,但是x=y,所以只算一个因子;

2.USB vs. PS/2

题目链接
题目大意:
机房有三种电脑,一种只有USB接口,一种只有PS/2接口,一种是两种接口均有,数量分别为a、b、c;
现在机房希望给电脑配上鼠标,鼠标有两种,一种只支持USB,一种只支持PS/2;
鼠标有m个,每个仅能用于一台电脑,价格为val[i];
现在希望能支持尽可能多的电脑,如果有多个选择,选择总价格最低的。

输入数据:
第一行 s a, b and c (0 ≤ a, b, c ≤ 1e5)
第二行 m (0 ≤ m ≤ 3·1e5)
接下来m行 每行 val[i] 和 鼠标支持类型 (1 ≤ val[i] ≤ 1e9)
输出:
最多能支持的电脑数量还有总价格;

Examples
input
2 1 1
4
5 USB
6 PS/2
3 PS/2
7 PS/2
output
3 14

题目解析:
要求首先是支持的电脑数量最多,其次再是价格最低。
电脑与电脑之间的差别:电脑类型A(USB接口)和电脑类型B(PS/2接口)兼容性比电脑类型C(两种接口都支持)差,那么应该优先支持类型A、B;
鼠标与鼠标之间的差别:同类型的鼠标,价格低者应该优先使用,这样总价格会更低;
综合这两者的差异,可以得到一个贪心的策略:
对鼠标按价格排序,从价格小的开始选;在配电脑的时候,优先选择类型A/B,如果没有再选择类型C。

3. Two strings

题目链接
题目大意:
给出两个字符串a和b,现在从b中删去一个连续的子串,得到字符串b',
要求b'是a的子序列;
现在希望删除尽可能短的字符串,并 输出b';
(如果b'为空,输出'-')

输入数据:
两行字符串,分别是a和b;
a和b的长度均小于1e5;

Examples
input
hi
bob
output
-
样例解释:删除所有的字符,得到空串,输出-;

input
abca
accepted
output
ac
样例解释:删除子串cepted,得到b'=ac,是a的子序列;

题目解析:
删除必然是某个区间[l, r],先看最暴力的做法:
枚举[l, r]的可能性,得到新的字符串bNew,对a和bNew做一次匹配;
匹配的规则是对于bNew的每一个字符,都在原来基础上找最近的匹配,最后看bNew是否能在a中找到所有的字符匹配位置;
枚举区间是O(N^2),匹配是O(N),总的复杂度是O(N^3);
接下来看优化思路,
性质1:区间[l, r]如果满足题意,那么[l-1, r]或者[l, r+1]也会满足题意;
如果用动态规划,状态数有N^2,已经超过限制;(虽然动态规划的转移是整体O(N))

由性质1,这里可以引入一个二分:二分区间长度。
然后再枚举区间的起点,得到bNew,再进行一次匹配;
整体的复杂度是O(logN)的二分,O(N)的枚举区间起点,O(N)的单次匹配复杂度;

这里单次匹配可以优化:
dp[i]表示字符串b,前i个字符匹配字符串a,的最短长度;
dpR[i]表示reverse_b(字符串b的转置),前i个字符串匹配字符串reverse_a,的最短长度;
那么bNew=b减去区间[l, r]=[1,l-1] + [r+1, len]
只要dp[i]+dpR[j]<=lenA,那么就有解;
这样单次匹配的复杂度降到了O(1);

总体的复杂度是O(logN * N), 题目能接受的复杂度。

4.Timofey and a tree

题目链接
题目大意:
一棵树有n个点,序号是1~n,每个点有一个颜色值color[i];
现在要求选择一个点,以这个点作为新的root根节点,要求其root根节点下,每颗子树内的颜色相同(子树与子树之间颜色可以不同);
如果可以则输出YES,然后再输出点序号;
如果不可以则单独输出NO。

输入数据:
第一行 n (2 ≤ n ≤ 1e5)
接下来n-1行,每行有两个数字(x,y),表示点x和y之间有一条边;
最后一行是颜色值 c1, c2, ..., cn (1 ≤ ci ≤ 1e5)

Examples
input
4
1 2
2 3
3 4
1 2 1 1
output
YES
2

题目解析:
题目要求子树内颜色相同,那么对于边(u, v),如果u和v的颜色不同,那么有三种可能:
1、以u为根;
2、以v为根;
3、无解;

接下来的问题是,如何判断以u为根的情况是否满足题意?
以u为根,对每个子树进行一次dfs,判断是否子树的颜色相同,即可。

5.Ilya And The Tree

题目链接
题目大意:
有一颗根为1的树,共有n个点,每个点有一个权值a[i];
我们定义一个点的魅力值为:点到根的路径上,所有点的最大公约数(gcd);
同时,我们可以选择修改一个点的权值为0;(gcd(0, m) = m)
问,每一个点的可能最大魅力值;

输入数据:
第一行,n (1 ≤ n ≤ 2e5)
第二行,a[i] (1 ≤ a[i] ≤ 2e5)
接下来n-1行,每行有两个数字(x,y),表示点x和y之间有一条边;

Examples
input
3
6 2 3
1 2
1 3
output
6 6 6
样例解释:
输入:首先n;
接下来是n个数字a[i];
然后n-1行,表示树的边;
输出:n个点可能的最大魅力值;
点1的最大魅力值是6(不做修改),点2的最大魅力值是6(修改点2的权值为0),点3的最大魅力值是6(修改点3的权值为0)
题目解析:
先重复下题目的定义:对于树上某个点u,其最大魅力值是点u到根上的所有数字的gcd;
对于点u,如果可以修改某个某个数字为0,那么相当于从点u到根上的所有数字中去掉一个数字,再求gcd;
问题简化成,在数组x[1]、x[2]、....x[k]中,去掉一个数字使得gcd最大。

如果不考虑复杂度,我们可以枚举去掉任意一个数字,再计算剩下的gcd,从中选择最大的数字;
对其思路进行优化,我们用d[i][0]表示前i个数字的gcd值,d[i][1]表示前i个数字去掉一个数字的最大gcd值;
于是有,d[1][0]=x[1], d[1][1]=0;
d[i][0] = gcd(d[i-1][0], x[i]);
d[i][1] = max(gcd(d[i-1][1], x[i]), d[i-1][0]); //如果前i个数字去掉的是x[i],那么gcd为d[i-1][0];如果去掉的数字不为x[i],那么结果为d[i-1][1]和x[i]的gcd值。

再回到树上的实现方案:
对每个点i维护一个数组d[i][2],在dfs过程不断更新数组即可。

总结

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本文题目源于Codeforces
授人以鱼不如授人以渔,但是大多数人只需要鱼,并不要渔。
这里是鱼:
程序员算法基础——动态规划
程序员算法基础——贪心算法