前言

很早，很早……的时候，想为班里数学基础薄弱的学生整理一份补习资料。在我的想象中，这份补习资料首先不是各个知识点的简单堆积，要能以数学发生学的视角，清晰地呈现出数学的发展、变化脉络，沟通各个知识点的内在逻辑联系；其次能从易到难，整理常见的练习题，包括典型习题与易错习题；最好还能把相关的数学基本思想包含进去；如果语言再流畅、精简、有趣一些，就更好了。

乍一看，想的还挺美，emmmm，结果嘛，一来工作很忙，二来这项工作也确实繁琐，于是就一直拖到了现在。之前也尝试过几次，但每次都半途中止，真的是太煎熬了。

但是，每次看到班里的学生，总会有一种声音在耳边回响……坚持做下去吧，不仅（或许）能帮助到学生，自己的收获会更大。不要想着一次性做好，先慢慢整理着，再不断完善。

正好临近期末，在思考着为学生准备点什么，那就借此机会，选择一部分内容，按照自己的预想尝试着做一下。

最后选择的内容是代数中，从算数到代数式的转变。代数的学习具有清晰的脉络，如果能梳理清楚各知识之间的内在联系，会产生事半功倍的效果。小学时，我们学习了自然数、分数、小数等一系列数，初一又学了负数，初二学习了无理数。除了学习各种各样的数之外，我们还学习了有字母的代数式，从数到式的跨越，也是从小学到初中跨越的一个难点，很多同学就是在这个转变的过程中遇到了很大的麻烦。

那如何解决这个问题呢？一个很好的方法，就是类比学习。

一、为什么要用字母代表数

有一天，善于思考的小聪同学在计算中发现了这样一个神奇的规律：

于是，他开心的找到老师，兴高采烈地说道：“老师，我发现了一个神奇的规律。” 

 老师同样开心的问道：“什么规律啊，快来给老师说一说。” 

 小聪刚要说，突然意识到一个问题，我该怎么表达这个规律呢？想了一会后，用文字语言说到：“一个数减1乘以这个数加1，等于这个数的平方减1。”

同学们，你们会不会觉得小聪的文字语言表示很繁琐呢？如果只是口头表达还好，如果书面表达，就真的太繁琐了。现在我们已经知道了，为了方便的表示一般规律，我们人类引入了字母表示数。如果用字母表示任意数，那么小聪发现的规律就可以很简洁、方便地表示为

用字母表示数的原因还不止如此，接下来老师问了小聪一个问题：“你发现的规律是不是一定正确呢？”

小聪很自信地说到，“绝对正确，我们可以举其他例子，比如，可以一直举下去。”

同学们，你认同小聪的“证明”方法吗？或者说，小聪的方法算“证明”吗？

答案是否定的，因为我们不可能把所有的情况都举完，站在严谨的角度，我们永远无法保证不会出现一个“黑天鹅”。

用字母表示之后，我们就可以很方便的严格证明了——

以上，就是我们为什么引入字母表示数的两个原因：

1. 可以方便、简洁、清晰的表示一般规律；

2. 便于严格的证明一般规律。

二、代数式如何分类？

既然我们引入了字母表示数，那会出现什么情况呢？当然是各种各样的代数式了，比如：

大家想一想，不同的字母+加减乘除、乘方开方等运算，能组合出多少种结果出来？

那么，这些看似“杂乱无章，毫无规律”的代数式，我们该怎么处理呢？

我们可以类比对“数”的处理——分析代数式的特点，并根据特点进行分类。 

类比之下，我们可以把代数式（其实是有理式）分为整式和分式，判别依据就是分母中含有字母。此时我们把焦点聚焦到“字母”上，不再关注系数（纯数字），比如是分式，而属于整式。

初学《整式》时，我们没有提到“无理式”的概念，在学习了“无理数”之后，我们知道了生活中还存在一类无限不循环的小数。仿照“无理数”，我们自然也会在代数式中找到相对应的“无理式”，至于判别依据，就是看代数式中是否含有“根号”，所以又叫“根式”【注：在目前所学阶段，我们可以把无理式与根式划等号】。当然了，在初中阶段，我们所接触的根式都是二次根式，最多拓展到三次根式。

综上所述，我们重新梳理代数式的分类：

大家发现没有，我们在对代数式分类时，所依据的分类标准是运算形式的不同。我们还知道，整式还可以进一步分为单项式与多项式。其实，这种分类方法也是基于运算形式的不同。

我们先来复习一下单项式与多项式的概念：

（1）在整式中，数与字母只有乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，比如，。

（2）在整式中，除了乘法（含乘方）运算之外，还有加减运算的代数式叫做多项式，比如。——课本上的说法是“几个单项式的和叫做多项式”。

这样的分类标准倒也清晰，但我们还是要多问一句，这样分类的意义何在？我们为什么要这么分？我们用三个例子说明：

这三个典型错误，是同学们经常遇到的，说明单项式与多项式在参与其他运算时，会出现完全不同的运算结果，绝对不能简单套用，这点同学们一定要切记！

多说一句，借助这3个问题讨论区分单项式与多项式的意义，只是数学老师方便大家理解记忆，属于老师的一孔之见。大家可以在后续的学习中自行体会对整式进一步分为单项式与多项式的必要性及意义。

综上，对比“数”的分类，我们再一次更新代数式分类：

同分数一定是最简形式一样，在代数式分类时，也要是最简形式，简单说就是不含括号，比如我们不能说是单项式。

在整个分类中，整式、根式我们已经学习过了，下个学期，就轮到分式的学习了。学习的时候，仍然记得与分数的学习类比，切记，类比学习决不等于照搬照抄。

还有一个问题，我们知道，代数式是由“字母+运算”的形式组成的。但在对代数式分类时，所依据的分类标准是运算形式的不同。我们为什么不选择“字母”的不同作为分类依据呢？这个问题，大家可以自行思考。

三、代数式的运算

在处理完代数式的分类之后，就是代数式的运算了，我们同样选择类比数的运算学习。大家在计算时，特别不喜欢分数，这是因为计算分数时还需要通分。为什么要通分呢？这是因为分数的计数单位不同，所以我们要统一计数单位。

我们还是通过一个例子来说明：

整数的计数单位是1，比如4我们可以理解为4个计数单位1，5可以理解为5个计数单位1，那4加5就可以理解为：4个计数单位+5个计数单位=9个计数单位，也就是9个1，所以结果是9。如果用算数表示就是：

如果是分数，那结果会是怎样的呢？分数的计数单位是，我们同样举例说明：

把一个披萨平均分成了4分，那么每一份就是整体的，3块披萨就是3个，也就是。

同理，如果把同样的披萨平均分成5份，那么每一份就是整体的，3块披萨就是3个，也就是。

现在问题来了，第一个3块与第二个3块一样吗？答案是不一样，因为每一块的大小不一样，在数学里就是计数单位不一样，所以我们不能简单的把和直接相加。

为了要把两个分数相加，我们首先要统一计数单位，这就是通分。

根据分数的性质，我们可以令，就是把计数单位“变换”为；同理，令。所以就有：

现在我们继续看一个代数式的加法，，还能不能继续运算呢？答案是不行，因为和代表不同的含义，二者没有相同的计数单位，并且还不能像分数一样通分，所以这就是最后的结果。

同样的例子还包括，我们现在知道，这是因为与都是无理数，无限不循环小数，简单说就是没有规律的数，当然也找不到合适的计数单位，所以也不能直接相加。

正因如此，根式的加减法与整式的合并同类项很相似，区别就在于根式需要进一步化简为最简根式，才能区别是不是“同类根式”，比如与其实是“同类根式”，。这也是我们为什么要化简二次根式的原因。

这里多说一句，没有相同的计数单位，不能直接相加减，但乘除法却不受影响，这里面的因为所以，我们就以后继续探究了。