贪心算法--最小生成树Prim算法

引言:前两天在复习贪心算法时,看到单源最短路径的Dijkstra算法和最小生成树的Prim算法,由于自己不认真,竟然将这两个算法思想看成一样的,后来在总结笔记时才发现他们两的区别还是很大的,下面是自己学习Prim算法时做的笔记,特意Mark以下;以供以后复习参考:
一:最小生成树:
设G=(V,E)是无向联通带权图,即一个网络。E中的每一条边(v,w)的权为c[v][w];如果G的一个子图G1是一颗包含G中所有顶点的树,则称G1为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中,耗费最小的生成树称之为最小生成树。
1:最小生成树性质:

使用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树的有效算法。本节所介绍的构造最小生成树的Prim算法和Kruskal算法都可以看做是应用贪心算法解决该问的策略。

MST性质:设G=(V,E)是连通带权图,U(u,v)属于E,且u属于U,v属于V-U;且在所有这样的边中,(u,v)的权c[u][v]最小,那么一定存在一课最小生成树,它以(u,v)为其中的一条边。
二:问题描述
题目:如下图所示,给图一个无向联通图即网络G=(V,E)的具体情况;让你求出该图的最小生成树:

Prim算法.png

三:求解方法:
1:补充:Prim算法:
设G=(V,E)是连通权图,V={1,2,3….n};
构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是:首先设置S={1},然后,只要S是V的真子集,就如下的贪心选择:选取满足条件i属于S,j属于V-S。且c[i][j]最小的边,并将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。在这个过程中选取的所有边恰好构成G的一棵最小生成树:
按照上面的Prim算法的具体过程

1:首先我们应该定义一个集合S用来存源点这里我们将起点定位1;所以开始时S={1};定义另一个集合B用来存集合V中除去集合S中的点之外的所有点;

2:定义一个集合dis用来存集合S中的点能够到达集合B中的点的边长;初始时dis具体情况如下:

1.png

如上表所示,集合S到集合B之间距离最最近的点是顶点3;所以我们将顶点3放入集合S此时调整集合dis值如下表:

2.png

从表中我们可以看出,此时集合S中的点到集合B中的点距离最近的是边:dis(3,6),所以我们将顶点6放到集合S中,此时集合S中包含的点为S={1,3,6};再次调整集合dis,得下表:

3.png

从表中我们可以看出,此时集合S中的点到集合B中的点距离最近的是边是:dis(6,4),所以我们将顶点4放到集合S中;此时集合S中包含的点为S={1,3,6,4};再次调整集合dis,得下标:

4.png

从表中我们可以看出,此时集合S中的点到集合V-S中的点距离最近的边是:dis(3,2),所以我们将顶点2放到集合S中;此时集合S中包含的点为S={1,3,6,4,2};再次调整集合dis,得下标:
![Uploading Prim算法 (1)_817407.png . . .]


5.png

从表中我们可以看出,此时集合S中的点到集合V-S中的点距离最近的边是:dis(2,5),所以我们将顶点5放到集合S中;此时集合S中包含的点为S={1,3,6,4,2,5};已经包含了集合V中的所有元素,此时我们所得到的子图就是我们所要求解的最小生成树。如下图所示:

Prim算法求得最小生成树.png

具体代码待补充.......

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