东哥手把手带你刷二叉树(第二期)

读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

654.最大二叉树

105.从前序与中序遍历序列构造二叉树

106.从中序与后序遍历序列构造二叉树

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上篇文章 手把手教你刷二叉树(第一篇) 连刷了三道二叉树题目,很多读者直呼内行。其实二叉树相关的算法真的不难,本文再来三道,手把手带你看看树的算法到底怎么做。

先来复习一下,我们说过写树的算法,关键思路如下:

把题目的要求细化,搞清楚根节点应该做什么,然后剩下的事情抛给前/中/后序的遍历框架就行了,我们千万不要跳进递归的细节里,你的脑袋才能压几个栈呀。

也许你还不太理解这句话,我们下面来看例子。

PS:我认真写了 100 多篇原创,手把手刷 200 道力扣题目,全部发布在 labuladong的算法小抄,持续更新。建议收藏,按照我的文章顺序刷题,掌握各种算法套路后投再入题海就如鱼得水了。

构造最大二叉树

先来道简单的,这是力扣第 654 题,题目如下:

image

函数签名如下:

TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums);

按照我们刚才说的,先明确根节点做什么?对于构造二叉树的问题,根节点要做的就是把想办法把自己构造出来

我们肯定要遍历数组把找到最大值 maxVal,把根节点 root 做出来,然后对 maxVal 左边的数组和右边的数组进行递归调用,作为 root 的左右子树。

按照题目给出的例子,输入的数组为 [3,2,1,6,0,5],对于整棵树的根节点来说,其实在做这件事:

TreeNode constructMaximumBinaryTree([3,2,1,6,0,5]) {
    // 找到数组中的最大值
    TreeNode root = new TreeNode(6);
    // 递归调用构造左右子树
    root.left = constructMaximumBinaryTree([3,2,1]);
    root.right = constructMaximumBinaryTree([0,5]);
    return root;
}

再详细一点,就是如下伪码:

TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums) {
    if (nums is empty) return null;
    // 找到数组中的最大值
    int maxVal = Integer.MIN_VALUE;
    int index = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] > maxVal) {
            maxVal = nums[i];
            index = i;
        }
    }

    TreeNode root = new TreeNode(maxVal);
    // 递归调用构造左右子树
    root.left = constructMaximumBinaryTree(nums[0..index-1]);
    root.right = constructMaximumBinaryTree(nums[index+1..nums.length-1]);
    return root;
}

看懂了吗?对于每个根节点,只需要找到当前 nums 中的最大值和对应的索引,然后递归调用左右数组构造左右子树即可

明确了思路,我们可以重新写一个辅助函数 build,来控制 nums 的索引:

/* 主函数 */
TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums) {
    return build(nums, 0, nums.length - 1);
}

/* 将 nums[lo..hi] 构造成符合条件的树,返回根节点 */
TreeNode build(int[] nums, int lo, int hi) {
    // base case
    if (lo > hi) {
        return null;
    }

    // 找到数组中的最大值和对应的索引
    int index = -1, maxVal = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = lo; i <= hi; i++) {
        if (maxVal < nums[i]) {
            index = i;
            maxVal = nums[i];
        }
    }

    TreeNode root = new TreeNode(maxVal);
    // 递归调用构造左右子树
    root.left = build(nums, lo, index - 1);
    root.right = build(nums, index + 1, hi);
    
    return root;
}

至此,这道题就做完了,还是挺简单的对吧,下面看两道更困难一些的。

通过前序和中序遍历结果构造二叉树

经典问题了,面试/笔试中常考,力扣第 105 题就是这个问题:

image

函数签名如下:

TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder);

废话不多说,直接来想思路,首先思考,根节点应该做什么。

类似上一题,我们肯定要想办法确定根节点的值,把根节点做出来,然后递归构造左右子树即可

我们先来回顾一下,前序遍历和中序遍历的结果有什么特点?

void traverse(TreeNode root) {
    // 前序遍历
    preorder.add(root.val);
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

void traverse(TreeNode root) {
    traverse(root.left);
    // 中序遍历
    inorder.add(root.val);
    traverse(root.right);
}

前文 二叉树就那几个框架 写过,这样的遍历顺序差异,导致了 preorderinorder 数组中的元素分布有如下特点:

image

找到根节点是很简单的,前序遍历的第一个值 preorder[0] 就是根节点的值,关键在于如何通过根节点的值,将 preorderpostorder 数组划分成两半,构造根节点的左右子树?

PS:我认真写了 100 多篇原创,手把手刷 200 道力扣题目,全部发布在 labuladong的算法小抄,持续更新。建议收藏,按照我的文章顺序刷题,掌握各种算法套路后投再入题海就如鱼得水了。

换句话说,对于以下代码中的 ? 部分应该填入什么:

/* 主函数 */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
    return build(preorder, 0, preorder.length - 1,
                 inorder, 0, inorder.length - 1);
}

/* 
   若前序遍历数组为 preorder[preStart..preEnd],
   后续遍历数组为 postorder[postStart..postEnd],
   构造二叉树,返回该二叉树的根节点 
*/
TreeNode build(int[] preorder, int preStart, int preEnd, 
               int[] inorder, int inStart, int inEnd) {
    // root 节点对应的值就是前序遍历数组的第一个元素
    int rootVal = preorder[preStart];
    // rootVal 在中序遍历数组中的索引
    int index = 0;
    for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
        if (inorder[i] == rootVal) {
            index = i;
            break;
        }
    }

    TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
    // 递归构造左右子树
    root.left = build(preorder, ?, ?,
                      inorder, ?, ?);

    root.right = build(preorder, ?, ?,
                       inorder, ?, ?);
    return root;
}

对于代码中的 rootValindex 变量,就是下图这种情况:

image

现在我们来看图做填空题,下面这几个问号处应该填什么:

root.left = build(preorder, ?, ?,
                  inorder, ?, ?);

root.right = build(preorder, ?, ?,
                   inorder, ?, ?);

对于左右子树对应的 inorder 数组的起始索引和终止索引比较容易确定:

image
root.left = build(preorder, ?, ?,
                  inorder, inStart, index - 1);

root.right = build(preorder, ?, ?,
                   inorder, index + 1, inEnd);

对于 preorder 数组呢?如何确定左右数组对应的起始索引和终止索引?

这个可以通过左子树的节点数推导出来,假设左子树的节点数为 leftSize,那么 preorder 数组上的索引情况是这样的:

image

看着这个图就可以把 preorder 对应的索引写进去了:

int leftSize = index - inStart;

root.left = build(preorder, preStart + 1, preStart + leftSize,
                  inorder, inStart, index - 1);

root.right = build(preorder, preStart + leftSize + 1, preEnd,
                   inorder, index + 1, inEnd);

至此,整个算法思路就完成了,我们再补一补 base case 即可写出解法代码:

TreeNode build(int[] preorder, int preStart, int preEnd, 
               int[] inorder, int inStart, int inEnd) {
        
    if (preStart > preEnd) {
        return null;
    }

    // root 节点对应的值就是前序遍历数组的第一个元素
    int rootVal = preorder[preStart];
    // rootVal 在中序遍历数组中的索引
    int index = 0;
    for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
        if (inorder[i] == rootVal) {
            index = i;
            break;
        }
    }

    int leftSize = index - inStart;

    // 先构造出当前根节点
    TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
    // 递归构造左右子树
    root.left = build(preorder, preStart + 1, preStart + leftSize,
                      inorder, inStart, index - 1);

    root.right = build(preorder, preStart + leftSize + 1, preEnd,
                       inorder, index + 1, inEnd);
    return root;
}

我们的主函数只要调用 build 函数即可,你看着函数这么多参数,解法这么多代码,似乎比我们上面讲的那道题难很多,让人望而生畏,实际上呢,这些参数无非就是控制数组起止位置的,画个图就能解决了。

通过后序和中序遍历结果构造二叉树

类似上一题,这次我们利用后序中序遍历的结果数组来还原二叉树,这是力扣第 106 题:

image

函数签名如下:

TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder);

类似的,看下后序和中序遍历的特点:

void traverse(TreeNode root) {
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
    // 前序遍历
    postorder.add(root.val);
}

void traverse(TreeNode root) {
    traverse(root.left);
    // 中序遍历
    inorder.add(root.val);
    traverse(root.right);
}

这样的遍历顺序差异,导致了 preorderinorder 数组中的元素分布有如下特点:

image

这道题和上一题的关键区别是,后序遍历和前序遍历相反,根节点对应的值为 postorder 的最后一个元素。

整体的算法框架和上一题非常类似,我们依然写一个辅助函数 build

TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {
    return build(inorder, 0, inorder.length - 1,
                 postorder, 0, postorder.length - 1);
}

TreeNode build(int[] inorder, int inStart, int inEnd,
               int[] postorder, int postStart, int postEnd) {
    // root 节点对应的值就是后序遍历数组的最后一个元素
    int rootVal = postorder[postEnd];
    // rootVal 在中序遍历数组中的索引
    int index = 0;
    for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
        if (inorder[i] == rootVal) {
            index = i;
            break;
        }
    }

    TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
    // 递归构造左右子树
    root.left = build(preorder, ?, ?,
                      inorder, ?, ?);

    root.right = build(preorder, ?, ?,
                       inorder, ?, ?);
    return root;
}

现在 postoderinorder 对应的状态如下:

image

我们可以按照上图将问号处的索引正确填入:

int leftSize = index - inStart;

root.left = build(inorder, inStart, index - 1,
                  postorder, postStart, postStart + leftSize - 1);

root.right = build(inorder, index + 1, inEnd,
                   postorder, postStart + leftSize, postEnd - 1);

综上,可以写出完整的解法代码:

TreeNode build(int[] inorder, int inStart, int inEnd,
               int[] postorder, int postStart, int postEnd) {

    if (inStart > inEnd) {
        return null;
    }
    // root 节点对应的值就是后序遍历数组的最后一个元素
    int rootVal = postorder[postEnd];
    // rootVal 在中序遍历数组中的索引
    int index = 0;
    for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
        if (inorder[i] == rootVal) {
            index = i;
            break;
        }
    }
    // 左子树的节点个数
    int leftSize = index - inStart;
    TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
    // 递归构造左右子树
    root.left = build(inorder, inStart, index - 1,
                        postorder, postStart, postStart + leftSize - 1);
    
    root.right = build(inorder, index + 1, inEnd,
                        postorder, postStart + leftSize, postEnd - 1);
    return root;
}

有了前一题的铺垫,这道题很快就解决了,无非就是 rootVal 变成了最后一个元素,再改改递归函数的参数而已,只要明白二叉树的特性,也不难写出来。

最后呼应下前文,做二叉树的问题,关键是把题目的要求细化,搞清楚根节点应该做什么,然后剩下的事情抛给前/中/后序的遍历框架就行了

现在你是否明白其中的玄妙了呢?

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