各种排序算法总结

排序算法是最基本最常用的算法,不同的排序算法在不同的场景或应用中会有不同的表现,我们需要对各种排序算法熟练才能将它们应用到实际当中,才能更好地发挥它们的优势。今天,来总结下各种排序算法。

下面这个表格总结了各种排序算法的复杂度与稳定性:


各种排序算法复杂度比较.png

冒泡排序

冒泡排序可谓是最经典的排序算法了,它是基于比较的排序算法,时间复杂度为O(n^2),其优点是实现简单,n较小时性能较好。

  • 算法原理
    相邻的数据进行两两比较,小数放在前面,大数放在后面,这样一趟下来,最小的数就被排在了第一位,第二趟也是如此,如此类推,直到所有的数据排序完成

  • c++代码实现

void bubble_sort(int arr[], int len)
{
        for (int i = 0; i < len - 1; i++)
        {
            for (int j = len - 1; j > i; j--)
            {
                if (arr[j] < arr[j - 1])
                {
                    int temp = arr[j];
                    arr[j] = arr[j - 1];
                    arr[j - 1] = temp;
                }
            }
        }
}

选择排序

  • 算法原理
    先在未排序序列中找到最小(大)元素,存放到排序序列的起始位置,然后,再从剩余未排序元素中继续寻找最小(大)元素,然后放到已排序序列的末尾。以此类推,直到所有元素均排序完毕。

  • c++代码实现

    void select_sort(int arr[], int len)
    {
        for (int i = 0; i < len; i++)
        {
            int index = i;
            for (int j = i + 1; j < len; j++)
            {
                if (arr[j] < arr[index])
                    index = j;
            }
            if (index != i)
            {
                int temp = arr[i];
                arr[i] = arr[index];
                arr[index] = temp; 
            }
        }
    }
    

插入排序

  • 算法原理
    将数据分为两部分,有序部分与无序部分,一开始有序部分包含第1个元素,依次将无序的元素插入到有序部分,直到所有元素有序。插入排序又分为直接插入排序、二分插入排序、链表插入等,这里只讨论直接插入排序。它是稳定的排序算法,时间复杂度为O(n^2)

  • c++代码实现

    void insert_sort(int arr[], int len)
    {
        for (int i = 1; i < len; i ++)
        {
            int j = i - 1;
            int k = arr[i];
            while (j > -1 && k < arr[j] )
            {
                arr[j + 1] = arr[j];
                j --;
            }
            arr[j + 1] = k;
        }
    }
    

快速排序

  • 算法原理
    快速排序是目前在实践中非常高效的一种排序算法,它不是稳定的排序算法,平均时间复杂度为O(nlogn),最差情况下复杂度为O(n^2)。它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分,其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小,然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序,整个排序过程可以递归进行,以此达到整个数据变成有序序列。
  • c++代码实现
void quick_sort(int arr[], int left, int right)
{
    if (left < right)
    {
        int i = left, j = right, target = arr[left];
        while (i < j)
        {
            while (i < j && arr[j] > target)
                j--;
            if (i < j)
                arr[i++] = arr[j];

            while (i < j && arr[i] < target)
                i++;
            if (i < j)
                arr[j] = arr[i];
        }
        arr[i] = target;
        quick_sort(arr, left, i - 1);
        quick_sort(arr, i + 1, right);
    }
}

归并排序

  • 算法原理
    归并排序具体工作原理如下(假设序列共有n个元素):

    • 将序列每相邻两个数字进行归并操作(merge),形成floor(n/2)个序列,排序后每个序列包含两个元素
    • 将上述序列再次归并,形成floor(n/4)个序列,每个序列包含四个元素
    • 重复步骤2,直到所有元素排序完毕

    归并排序是稳定的排序算法,其时间复杂度为O(nlogn),如果是使用链表的实现的话,空间复杂度可以达到O(1),但如果是使用数组来存储数据的话,在归并的过程中,需要临时空间来存储归并好的数据,所以空间复杂度为O(n)

  • c++代码实现

    void merge(int arr[], int temp_arr[], int start_index, int mid_index, int end_index)
    {
        int i = start_index, j = mid_index + 1;
        int k = 0;
        while (i < mid_index + 1 && j < end_index + 1)
        {
            if (arr[i] > arr[j])
                temp_arr[k++] = arr[j++];
            else
                temp_arr[k++] = arr[i++];
        }
        while (i < mid_index + 1)
        {
            temp_arr[k++] = arr[i++];
        }
        while (j < end_index + 1)
            temp_arr[k++] = arr[j++];
    
        for (i = 0, j = start_index; j < end_index + 1; i ++, j ++)
            arr[j] = temp_arr[i];
    }
    
    void merge_sort(int arr[], int temp_arr[], int start_index, int end_index)
    {
        if (start_index < end_index)
        {
            int mid_index = (start_index + end_index) / 2;
            merge_sort(arr, temp_arr, start_index, mid_index);
            merge_sort(arr, temp_arr, mid_index + 1, end_index);
            merge(arr, temp_arr, start_index, mid_index, end_index);
        }
    }
    

堆排序

二叉堆

二叉堆是完全二叉树或者近似完全二叉树,满足两个特性

  • 父结点的键值总是大于或等于(小于或等于)任何一个子节点的键值
  • 每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。一般二叉树简称为堆。

堆的存储

一般都是数组来存储堆,i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 12 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。存储结构如图所示:

堆结构.png

堆排序原理

堆排序的时间复杂度为O(nlogn)

  • 算法原理(以最大堆为例)
  • 先将初始数据R[1..n]建成一个最大堆,此堆为初始的无序区
  • 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换,由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n],且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
  • 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质,故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。
  • 重复2、3步骤,直到无序区只有一个元素为止。
  • c++代码实现
/**
 * 将数组arr构建大根堆
 * @param arr 待调整的数组
 * @param i   待调整的数组元素的下标
 * @param len 数组的长度
 */
void heap_adjust(int arr[], int i, int len)
{
    int child;
    int temp;

    for (; 2 * i + 1 < len; i = child)
    {
        child = 2 * i + 1;  // 子结点的位置 = 2 * 父结点的位置 + 1
        // 得到子结点中键值较大的结点
        if (child < len - 1 && arr[child + 1] > arr[child])
            child ++;
        // 如果较大的子结点大于父结点那么把较大的子结点往上移动,替换它的父结点
        if (arr[i] < arr[child])
        {
            temp = arr[i];
            arr[i] = arr[child];
            arr[child] = temp;
        }
        else
            break;
    }
}

/**
 * 堆排序算法
 */
void heap_sort(int arr[], int len)
{
    int i;
    // 调整序列的前半部分元素,调整完之后第一个元素是序列的最大的元素
    for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
    {
        heap_adjust(arr, i, len);
    }

    for (i = len - 1; i > 0; i--)
    {
        // 将第1个元素与当前最后一个元素交换,保证当前的最后一个位置的元素都是现在的这个序列中最大的
        int temp = arr[0];
        arr[0] = arr[i];
        arr[i] = temp;
        // 不断缩小调整heap的范围,每一次调整完毕保证第一个元素是当前序列的最大值
        heap_adjust(arr, 0, i);
    }
}

未完待续

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